Question

1. Koło podzielono na dwa wycinki kołowe o kątach środkowych 60* i 300*. Z każdego z tych wycinków tworzymy powierzchnię boczną stożka.

a) Jaki jest stosunek promieni podstaw tych stożków?

b) Jakie miary mają kąty rozwarcia stożków?

c)Jaki jest stosunek wysokości stożków?

2. Koło o promieniu R rozcięto na dwa wycinki i z każdego z nich utworzono powierzchnię boczną stożka. Wykaż, że suma długości promieni podstaw tych stożków jest równa R.

Są to zadania 8,9/str. 284 podręcznik Liceum + Techikum; Matematyka III, Matematyka z plusem; zakres podstawowy z rozszerzeniem

Answer 1

1.

Powierzchnia boczna stożka wyraża się wzorem:

gdzie r = promień podstawy, a l = długość tworzącej.

Jeśli koło z którego wycinaliśmy 2 wycinki ma promień R, to tworzące stożków 

l = R

Długości łuków wycinków są obwodami podstaw stożków:

 

a) 

 

b)

Przekroje osiowe stożków są trójkątami równoramiennymi o kątach wierzchołkowych x1 i x2, które są zarazem kątami rozwarcia stożków. Trójkąty te składają się z 2 symetrycznych trójkątów prostokątnych, a sinusy połowy kątów x1 i x2 wynoszą:

   

arc sin p (czytaj: arkus sinus p) to po prostu taki kąt α, że p = sinα 

np. arc sin 0,5 = 30°, bo sin 30° = 0,5

arc sin, arc cos, arc tg, arc ctg - to funkcje odwrotne do sin, cos, tg, ctg. 

 

c)

 

Z tw. Pitagorasa:

 

 

2.

Jeśli jeden z kątów oznaczymy α, to w mierze łukowej β = 2π - α

(oczywiście 2π [rad] = 360°)  

Na podstawie poprzednego zadania mamy:

 

Co należało wykazać.