Stosując transformatę Laplace`a rozwiązać poniższe równanie różniczkowe... Przyjąć zerowe warunki po.... Question from @Frigga

April 2022 1 9 Report

Stosując transformatę Laplace`a rozwiązać poniższe równanie różniczkowe...
Przyjąć zerowe warunki początkowe

Proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie :)

Louie314

Odpowiedź:

$$y(t)=\frac{1}{4} e^{3t}-\frac{1}{3} e^{2t}+\frac{1}{12} e^{-t}$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Równanie:

$y''(t)-2y'(t)-3y(t)=e^{2t}$

Warunki początkowe:

$y'(0)=y(0)=0$

Rozwiązanie:

Niech:

$\mathcal{L}\{y(t)\}=F(s)$

Nakładamy obustronnie transformatę Laplace'a :

$\mathcal{L}\{y''(t)\}-2\mathcal{L}\{y'(t)\}-3\mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{e^{2t}\}$

Najpierw obliczmy:

$$\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2} \cdot \mathcal{L}\{y(t)\}-s \cdot y(0)-s^{0} \cdot y'(0)=s^{2} \cdot F(s)$

$\mathcal{L}\{y'(t)\}=s \cdot \mathcal{L}\{y(t)\}-s^{0} \cdot y(0)=s \cdot F(s)$

$\mathcal{L}\{y(t)\}=F(s)$

$$\mathcal{L}\{e^{2t}\}=\frac{1}{s-2}$

Zatem mamy:

$$s^{2} \cdot F(s)-2s \cdot F(s)-3F(s)=\frac{1}{s-2}$

Wyznaczamy z tego równania $F(s)$ :

$$F(s)(s^{2}-2s-3)=\frac{1}{s-2}$

$$F(s)=\frac{1}{(s-2)(s^{2}-2s-3)} =\frac{1}{(s-2)(s+1)(s-3)}$

Teraz robimy rozkład prawej strony na ułamki proste:

$$\frac{1}{(s-2)(s+1)(s-3)}=\frac{A}{s-3} +\frac{B}{s-2} +\frac{C}{s+1}$

Mnożymy obustronnie przez mianownik:

$1=A(s-2)(s+1)+B(s-3)(s+1)+C(s-2)(s-3)$

$1=A(s^{2}-s-2)+B(s^{2}-2s-3)+C(s^{2}-5s+6)$

$1=s^{2}(A+B+C)+s(-A-2B-5C)-2A-3B+6C$

Mamy zatem układ równań:

$\left\{\begin{array}{ccc}A+B+C=0\\A+2B+5C=0\\-2A-3B+6C=1\end{array}\right$

Po dodaniu wszystkich równań stronami mamy:

$$12C=1 \Rightarrow C=\frac{1}{12}$

Po odjęciu stronami dwóch pierwszych równań mamy:

$></p><p><img src=$

Wstawiając wartości do pierwszego równania:

$$A=\frac{1}{4}$

Zatem równanie wygląda tak:

$$F(s)=\frac{\frac{1}{4} }{s-3} -\frac{\frac{1}{3} }{s-2} +\frac{\frac{1}{12} }{s+1}$

Teraz nakładamy transformatę odwrotną:

$$\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{\frac{1}{4} }{s-3} \}-\mathcal{L}^{-1}\{\frac{\frac{1}{3} }{s-2} \}+\mathcal{L}^{-1}\{\frac{\frac{1}{12} }{s+1} \}$

$$y(t)=\frac{1}{4} \mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-3} \}-\frac{1}{3}\mathcal{L}^{-1}\{\frac{ 1}{s-2} \}+\frac{1}{12}\mathcal{L}^{-1}\{\frac{ 1}{s+1} \}$

$$y(t)=\frac{1}{4} e^{3t}-\frac{1}{3} e^{2t}+\frac{1}{12} e^{-t}$

1 votes Thanks 1

Frigga Ale ładnie :O

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

Terms of Service

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.