STATYSTYKA: Zad. 1. W celu oszacowania dokładności pewnego przyrządu pomiarowego dokonano nim 10 nie.... Question from @Gatka22

January 2019 1 21 Report

STATYSTYKA:

Zad. 1. W celu oszacowania dokładności pewnego przyrządu pomiarowego dokonano nim 10 niezależnych pomiarów długości pewnego odcinka i otrzymano następujące wyniki (w mm):
15,15; 15,17; 15,20; 15,12; 15,04; 15,09; 15,14; 15,16; 15,22; 15,19. Przyjmując poziom ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla nieznanej wariancji pomiarów tym przyrządem.

Zad. 2. Dokonano niezależnie 12 pomiarów wartości deklinacji magnetycznej w pewnym punkcie terenu i otrzymano następujące wyniki (w stopniach): 5,14; 5,21; 5,20; 5,16; 5,15; 5,17; 5,24; 5,19; 5,11; 5,18; 5,14; 5,23. Zakładając, że rozkład wyników pomiarów deklinacji jest normalny, wyznaczyć na poziomie ufności 0,99 przedział ufności dla wartości oczekiwanej deklinacji w tym punkcie terenu.

Zad. 3. W pewnym badaniu geochemicznym oznacza się ilość osadu wytrąconego z roztworu. Przeprowadzono n = 26 niezależnych oznaczeń, z których wyznaczono średnią masę osadu równą 468 mg. Zakładając, że rozkład masy osadu jest normalny z odchyleniem standardowym 90 mg oszacować przy pomocy przedziału ufności na poziomie ufności 0,999 nieznaną wartość oczekiwaną masy osadu w badanym procesie.

Hitmanx Zadanie 1:
Mamy 10 niezależnych pomiarów o średniej $\mu=\frac{15,15+15,17+15,2+15,12+15,04+15,09+15,14+15,16+15,22+15,19}{10}=15,148$
oraz wariancji wynoszącej:
$SD=\frac{\sum\limits_{i=1}^{10}(x_i-\mu)^2}{9}=\\ \frac{(15.15-15.148)^2+(15.17-15.148)^2+(15.2-15.148)^2+(15.12-15.148)^2+(15.04-15.148)^2}{}\\ \\ \frac{(15.09-15.148)^2+(15.14-15.148)^2+(15.16-15.148)^2+(15.22-15.148)^2+(15.19-15.148)^2}{10}\\ \\ SD=0.026/10\approx0,003\\ \\ k$
Wyznaczamy przedział ufności na poziomie 0,95, co za tym idzie przedział istotności wynosi; $1-\alpha=0,95\implies\ \alpha=0,05$ .
Ze wzgledu na małąliczebność próby do konstrukcji wykorzystam rozkład chi-kwadrat o 10-1=9 stopniach swobody.
Niech $\sigma$ - wariancja. Wówczas przedział ufności:

$\frac{10*SD}{\chi(\frac{\alpha}{2})}\ \textless \ \sigma\ \textless \ \frac{10*SD}{\chi(1-\frac{\alpha}{2})}\\ \\ \frac{10*0,003}{\chi(\frac{0,05}{2})}\ \textless \ \sigma\ \textless \ \frac{10*0,003}{\chi(1-\frac{0,05}{2})}\\ \\ \frac{0,03}{19,023}\ \textless \ \sigma\ \textless \ \frac{0,03}{2,7}\\ \\ 0,0016\ \textless \ \sigma\ \textless \ 0,0111\\ \sigma\in(0,0016;0,0111)$

Zadanie 2:
Dokonano 12 pomiarów o średniej próby $m=\frac{62,12}{12}=5,18$ , oraz wariancji z próby $SD^2=\frac{0.017}{12}=0,001$ , co za tym idzie odchylenie standardowe wynosi SD=0,032.
Wyznaczamy przedział ufności na poziomie 0,99, co za tym idzie przedział istotności wynosi; $1-\alpha=0,99\implies\ \alpha=0,01$ .
Ze względu na małą liczebność próby do modelowania wykorzystam rozkład t-studenta o 12-1=11 stopniach swobody.
Niech $\mu$ - średnia. Wówczas przedział ufności:
$m-t_{\alpha} \frac{SD}{\sqrt{10-1}}\ \textless \ \mu\ \textless \ m+t_{\alpha}\frac{SD}{\sqrt{10-1}}\\ \\ 5,18-3,16*\frac{0,032}{3}\ \textless \ \mu\ \textless \ 5,18+3,16*\frac{0,032}{3}\\ \\ 5,15\ \textless \ \mu\ \textless \ 5,21\\ \\ \mu\in(5,15;5,21)$

Zadanie 3:
Mamy n=26 prób, z których otrzymaliśmy $m=468$ , oraz $SD=90$
Przyjmujemy poziom ufności 0,999, co za tym idzie przedział istotności wynosi; $1-\alpha=0,999\implies\ \alpha=0,001$ .
26 powtórzeń eksperymentu jest problematyczne, gdyż nie do końca wiadomo, którym rozkładem modelować sytuację. Ja założę że jest to liczba pozwalająca uznać obserwacje za nie małą próbę i użyję rozkładu normalnego.
Mamy:
$m-u_\alpha*\frac{SD}{\sqrt{26}}\ \textless \ \mu\ \textless \ m+u_\alpha*\frac{SD}{\sqrt{26}}\\ \\ 468-3,2*\frac{90}{\sqrt{26}}\ \textless \ \mu\ \textless \ 468+3,2*\frac{90}{\sqrt{26}}\\ \\ 411,519\ \textless \ \mu\ \textless \ 524,481\\ \mu\in(411,519;524,481)$