Question

Sprawdzić, czy zbiór liczb rzeczywistych postaci gdzie x,y należą do wymiernych tworzy pierścien względem zwykłych działań dodawania i mnozenia.

Answer 1

Nie, to nie jest pierścień, a żeby to wykazać, wystarczy podać kontrprzykład.

Weźmy dwie liczby tej postaci:


Tak więc mnożenie nie jest działaniem wewnętrznym w tym zbiorze (gdyż nie uzyskaliśmy wyniku wymaganej postaci), zatem nie jest to pierścień.

Answer 2

Oznaczmy zbior przez .
Wiadomo że  ktory jest pierscieniem, zeby  byl pierscieniem to wystarczy zeby byl zamkniety ze wzgledu na dodawanie i mnozenie. 
Wezmiemy teraz dwa alementy z  i sprawdzimy czy ich suma tez tam jest 

Liczby w nawiasach sa wymierne zatem suma jest w  i dodatkowo mozemy stwierdzic ze jest to grupa ze wzgledu na dodawanie, teraz sprawdzimy iloczyn

Pierwsze dwa skladniki sa w , wiec caly "gosc" jest w  jesli trzeci skladnik jest. 
No to pytanie czy liczbe  da sie przedstawic jako  przy x,y wymiernych. Zeby zobaczyc ze sie nie da trzeba podniesc rownosc. do kwadratu i do trzeciej, z otrzymanego ukladu dwoch rownan mozna wywnioskowac ze  jest liczba wymierna co dowodzi ze  nie jest zamkniety ze wzgledu na mnozenie i w zwiazku z tym nie jest pierscieniem.