Question

Sprawdz, czy zbiór {cos(z) : z ∈ \mathbb Z} jest ograniczony ( \mathbb Z oznacza zbiór liczb całkowitych).
Jesli tak, podaj jego ograniczenia.

Answer 1

Z własności cosinusa wiemy, że  -1<cos x <1. Podstawiając za x=0, gdzie 0 jest całkowite, mamy cos 0 = 1. Zatem górne ograniczenie podanego zbioru to 1. Dolne ograniczenie tego zbioru to -1, jednak nie potrafię tego dowieść do końca - mogę jedynie uzasadnić, że cos x będzie przyjmować różne wartości, ale nigdy -1 nie osiągnie, bo tylko dla x=pi+2kpi wynosi -1. Niemniej nie ma przeszkody, by bardzo się do tej -1 zbliżył (zbiór liczb całkowitych jest nieskończony, możemy znaleźć taką liczbę, która jest dowolnie blisko pi+2kpi). Zatem podane ograniczenia: -1 oraz 1 są prawidłowe.