Question

Sprawdź czy ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym, jeśli: Sn = n^2-4
Trzeba obliczyć a1, potem an ze wzoru: an= Sn - Sn-1, a następnie an+1. Później an+1-an oraz a2-a1. Takim sposobem mam to zrobić i zrobiłam, ale odpowiedź się nie zgadza, bo ma wyjść, że nie jest arytmetycznym. Proszę o pomoc.

Answer 1

An=n²-4 - [(n-1)²-4] = n²-4-(n²-2n+1) + 4=n²-n²+2n-1
an=2n-1
a_{n+1}=2(n+1)-1=2n+2-1=2n+1
a_{n+1}-an=2n+1-2n+1=2
r=2
wyglada na to, ze ciag jest arytmetyczny..., ale wyznaczalismy
S_{n-1}, a zbior liczb naturalnych jest ograniczony z dołu.
Mozna sprawdzic kolejne sumy i wyznaczyc 3 poczatkowe wyrazy tego ciagu:
a₁ = S₁=1-4=-3
a₁+a₂ = S₂ = 4-4=0
a₁+a₂+a₃=S₃ = 5
Pierwsze trzy wyrazy tego ciagu, to: -3, 3, 5,...
3-(-3) ≠ 5-3 ⇒ciag {an} nie jest arymetyczny.
(Okazuje sie, ze poczawszy od drugiego wyrazu bedzie arytmettyczny)

Answer 2

Najpierw uzyskamy wzór na n-ty wyraz ciągu.


Powyższy wzór nie zachodzi dla , dlatego pierwszy wyraz ciągu liczymy oddzielnie.


Z wcześniej uzyskanego wzoru liczymy kolejne wyrazy ciągu.


Różnica pomiędzy wyrazem drugim a pierwszym wynosi , natomiast różnica pomiędzy wyrazem trzecim i drugim wynosi .

Z tego wniosek, że nie jest to ciąg arytmetyczny.