Question

skonstruuj trójkąt na którym jest opisany okrąg o promieniu 5cm.Podstawa trójkąta wynosi 4 cm.Oblicz pole tego trójkąta

Answer 1

Konstrukcja cz. 1.

1) Rysujemy odcinek długości 4 cm i dzielimy go konstrukcyjnie na połowy.

2) Wbijamy nóżkę cyrkla kolejno w oba końce odcinka i kreślimy z tych punktów łuki o promieniu większym niż połowa odcinka (łuki czerwone).

3) Przez powstałe punkty przecięcia się łuków prowadzimy prostą, która dzieli nasz odcinek na połowy.

 

Konstrukcja cz. 2. (tr. równoramienny)

a) zaznaczamy punkt O, będzie on środkiem okręgu.

b) kreślimy okrąg o promieniu 5 cm wbijając cyrkiel we wcześniej zaznaczony punkt. 

c) na okręgu zaznaczamy punkt A (w dowolnym miejscu)

d) Wbijamy cyrkiel w punkt A i kreślimy łuk (czerwony) o promieniu 4 cm (dl. odcinka), przetnie on okrąg w punkcie B.

e) łączymy punkty A i B - podstawa trójkąta.

f) ponownie wbijamy cyrkiel w punkt A i kreślimy tym razem łuk (niebieski) o promieniu równym połowie długości odcinka (2 cm - chociaż formalnie ta odległość powinna zostać odmierzona z pierwszej konstrukcji), otrzymujemy punkt C.

g) rysujemy prostą przechodzącą przez punkty C i O. prosta przecina okrąg w dwóch punktach (D i E), otrzymujemy w ten sposób dwa trójkąty o podstawie 4 cm (tr BAD i tr BEA).

 

Pole tr BAD.

|AB| = 4 cm   <--- podstawa

h = |CD| = |CO| + r   <--- wysokość

|BO| = r = 5 cm   <---- promień okręgu

|BC| = 2 cm   <--- połowa podstawy

z tw. Pitagorasa obliczam |CO|:

|BC|² + |CO|² = |BO|²

2² + |CO|² = 5²

4 + |CO|² = 25

|CO|² = 21

|CO| = √21

h = 5 + √21

P(BAD) = 0,5 · |BA| · h = 0,5 · 4 · (5 + √21) = 2(5 + √21) = 10 + 2√21 [cm²]

 

Pole tr. BEA:

|BA| = 4 cm  <-- podstawa

|CE| = r - |CO| = 5 - √21  <--- wysokość

P(BEA) = 0,5 · |BA| · |CE| = 0,5 · 4 · (5 - √21) = 2(5 - √21) = 10 - 2√21 [cm²]