Question

Wykaż, że dla kąta ostrego alfa (kątów ostrych alfa i beta) tożsamością jest równość:
a) ctg2alfa * (tg2alfa - sin2alfa) = sin2alfa
b) 1+ctg alfa=sin alfa + cos alfa / sin alfa
c) 1 + tg2 alfa = 1/cos2 alfa
d) (tg alfa + ctg alfa)2 = 1 / sin2 alfa * cos2 alfa
e) tg alfa - ctg alfa=(tg alfa -1) (ctg alfa - 1)
f) sin2 alfa - sin 2 beta = cos2 beta - cos2 alfa


* - razy
2 - kwadrat

Answer 1

Wykaż, że dla kąta ostrego alfa (kątów ostrych alfa i beta) tożsamością jest równość:
a) ctg²alfa * (tg²alfa - sin²alfa) = sin²alfa
L=ctg²alfa * (tg²alfa - sin²alfa)=ctg²alfa * tg²alfa -ctg²alfasin²alfa=
1-cos²alfa=sin²alfa=P
L=P
b) 1+ctg alfa=sin alfa + cos alfa / sin alfa
P=sin alfa + cos alfa / sin alfa=sin alfa/ sin alfa+ cos alfa / sin alfa=
1+ctg alfa=L
L=P
c) 1 + tg2 alfa = 1/cos2 alfa
P=1 + tg2 alfa=1+ sin²alfa/cos²alfa=(cos²alfa+ sin²alfa)/cos²alfa=1/cos2 alfa
=P
L=P
d) (tg alfa + ctg alfa)2 = 1 / sin2 alfa * cos2 alfa
L=(tg alfa + ctg alfa)²=tg ²alfa + 2tg alfa *ctg alfa+ctg ²alfa=
2+sin²alfa/cos²alfa+cos²alfa/sin²alfa=2+(sin⁴alfa+cos⁴alfa)/cos²alfa*sin²alfa
(2cos²alfa*sin²alfa+sin⁴alfa+cos⁴alfa)/cos²alfa*sin²alfa=
(sin²alfa+cos²alfa)²/cos²alfa*sin²alfa=1/cos²alfa*sin²alfa=P
L=P
e) tg alfa - ctg alfa=(tg alfa -1) (ctg alfa - 1)
P=(tg alfa -1) (ctg alfa - 1)=tg alfa *ctg alfa - tg alfa-ctg alfa+1=
1- tg alfa-ctg alfa+1=2-tg alfa-ctg alfa źle!!!
powinno byc :
tg alfa - ctg alfa=(tg alfa -1) (ctg alfa + 1)
P=(tg alfa -1) (ctg alfa +1)=tg alfa *ctg alfa + tg alfa-ctg alfa-1=
1+ tg alfa-ctg alfa-1=tg alfa-ctg alfa =L
L=P
f) sin2 alfa - sin 2 beta = cos2 beta - cos2 alfa
L=sin2 alfa - sin 2 beta =1-cos2 alfa-(1-cos2 beta)=1-cos2 alfa-1+cos2 beta=
-cos2 alfa+cos2 beta=cos2 beta - cos2 alfa=P
L=P

Answer 2

A) ctg²α * (tg²α - sin²α) = sin²α
L = ctg²α * (tg²α - sin²α) = 1/tg²α * (tg²α - sin²α) = 1 - sin²α/tg²α = 1 - sin²α*ctg²α = 1 - sin²α*cos²α/sin²α = 1 - cos²α = sin²α = P

b) 1 + ctgα = sinα + cosα/sinα
L = 1 + ctgα = 1 + cosα/sinα = (sinα + cosα)/sinα = P

c) 1 + tg²α = 1/cos²α
L = 1 + tg²α = 1 + sin²α/cos²α = (cos²α + sin²α)/cos²α = 1/cos²α = P

d) (tgα + ctgα)² = 1/sin²α * cos²α
L = (tgα + ctgα)² = (sinα/cosα + cosα/sinα)² = [(sin²α + cos²α)/sinα*cosα]² = 1/sin²α*cos²α = P

e) tgα - ctgα = (tgα -1) (ctgα - 1)
L = tgα - ctgα = tgα - 1/tgα = (tg²α - 1)/tgα = (tgα - 1)(tgα + 1)/tgα = (tgα - 1)(1 + ctgα)/tgα
trochę inaczej, ale z tego wynika, że tak jak napisałeś nie może być, bo nie dla każdego α ctgα = - ctgα

f) sin²α - sin²β = cos²β - cos²α
L = sin²α - sin²β = (1 - cos²α) - (1 - cos²β) = 1 - cos²α - 1 + cos²β = cos²β - cos²α = P