[tex]\mathbf{6.} [/tex] Jika [tex]\mathbf{f(x)=k}[/tex], maka [tex]\mathbf{lim_{x\to a}f(x)=k}[/tex], dengan k adalah konstanta.
[tex]\mathbf{7.} [/tex] Jika [tex]\mathbf{f(x)=x}[/tex], maka [tex]\mathbf{lim_{x\to a}f(x)=x}[/tex].
[tex] \: [/tex]
Tips menemukan nilai limit :
1.) Dengan substitusi langsung
Kita hanya memasukkan nilai limitnya pada x (variabel) kedalam fungsi limitnya. Apabila menghasilkan 0/0, maka gunakan cara yg lain.
2.) Pemfaktoran
=> memfaktorkan fungsi dalam limit tersebut. Menghilangkan faktor (x – a), dari pembilang dan penyebut. Lalu apabila ada yang sama kita bisa coret dan menyelesaikannya.
3.) Dikalikan dengan bilangan sekawan
=> Apabila terdapat bentuk akar, maka terlebih dahulu dikalikan sekawan agar bentuk akar hilang, kemudian disederhanakan. ingat lagi konsep rumus aljabar kuadrat salah satunya ialah a² - b² = (a + b)(a - b)
4.) L'Hospital
=> Cara ini juga sering digunakan untuk sincostangen. Biasanya kita gunakan ini ketika cara subtisusi langsung gagal (0/0) maka L'Hospital solusinya. Dimana kita hanya menurunkan fungsi limitnya sampai dapat baik pada pembilang maupun penyebutnya.
PEMBAHASAN
Limit
soal pertama
lim x→π/4 cos 2x / (sin x - cos x)
= lim x→π/4 (cos² x - sin² x)/-(cos x - sin x)
= - lim x→π/4 (cos x + sin x)(cos x - sin x)/(cos x - sin x)
= - lim x→π/4 (cos x + sin x)
= - (cos π/4 + sin π/4)
= - (1/2 √2 + 1/2 √2)
= - √2
soal kedua
lim x→2 (x² + 2x - 8) / xtan (x - 2)
= lim x→2 (x + 4)/x . lim (x-2)→0 (x - 2)/tan (x - 2)
= (2 + 4)/2 × 1
= 6/2
= 3
Verified answer
1. Nilai [tex]\bf{lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\ \frac{\cos2x}{\sin x-\cos x}}[/tex] adalah -√2.
[tex]\to[/tex]
2. Nilai [tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{x^{2}+2x-8}{x\tan\left(x-2\right)}}[/tex] adalah 3.
[tex] \: [/tex]
Limit
Pendahuluan[tex] \: [/tex]
Teorema Limit :
[tex]\scriptsize\mathbf{1.\ \ lim_{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=lim_{x\to a}f(x)\pm lim_{x\to a}g(x)} [/tex]
[tex]\scriptsize\mathbf{2.\ \ lim_{x\to a}\{f(x)\cdot g(x)\},=lim_{x\to a}f(x)\cdot lim_{x\to a}g(x)} [/tex]
[tex]\mathbf{3.\ \ lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)},=\frac{lim_{x\to a}f(x)}{lim_{x\to a}g(x)}} [/tex]
[tex]\mathbf{4.\ \ lim_{x\to a}(k\cdot f(x)),=k\cdot lim_{x\to a}f(x),} [/tex]
==> dengan k adalaha konstanta.
[tex]\mathbf{5.\ \ lim_{x\to a}(f(x))^{n},=(lim_{x\to a}f(x))^{n}}[/tex]
[tex]\mathbf{6.} [/tex] Jika [tex]\mathbf{f(x)=k}[/tex], maka [tex]\mathbf{lim_{x\to a}f(x)=k}[/tex], dengan k adalah konstanta.
[tex]\mathbf{7.} [/tex] Jika [tex]\mathbf{f(x)=x}[/tex], maka [tex]\mathbf{lim_{x\to a}f(x)=x}[/tex].
[tex] \: [/tex]
Tips menemukan nilai limit :
1.) Dengan substitusi langsung
Kita hanya memasukkan nilai limitnya pada x (variabel) kedalam fungsi limitnya. Apabila menghasilkan 0/0, maka gunakan cara yg lain.
2.) Pemfaktoran
=> memfaktorkan fungsi dalam limit tersebut. Menghilangkan faktor (x – a), dari pembilang dan penyebut. Lalu apabila ada yang sama kita bisa coret dan menyelesaikannya.
3.) Dikalikan dengan bilangan sekawan
=> Apabila terdapat bentuk akar, maka terlebih dahulu dikalikan sekawan agar bentuk akar hilang, kemudian disederhanakan. ingat lagi konsep rumus aljabar kuadrat salah satunya ialah a² - b² = (a + b)(a - b)
4.) L'Hospital
=> Cara ini juga sering digunakan untuk sincostangen. Biasanya kita gunakan ini ketika cara subtisusi langsung gagal (0/0) maka L'Hospital solusinya. Dimana kita hanya menurunkan fungsi limitnya sampai dapat baik pada pembilang maupun penyebutnya.
[tex] \boxed{\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}} [/tex]
[tex] \: [/tex]
[tex] \: [/tex]
Pembahasan
Nomor 1
Diketahui :
[tex]\bf{lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\ \frac{\cos2x}{\sin x-\cos x}}[/tex]
Ditanya :
Hasil dari tersebut...
Jawaban :
[tex]\bf{lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\ \frac{\cos2x}{\sin x-\cos x}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\ \frac{(\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x))}{\sin x-\cos x}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\ \frac{(\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x))}{(\sin(x)-\cos(x))}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\ \frac{(\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x))}{-(\cos(x)-\sin(x))}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\ -(\cos(x)+\sin(x))}[/tex]
[tex]\bf{=-(\cos(\frac{\pi}{4})+\sin(\frac{\pi}{4}))}[/tex]
[tex]\bf{=-(\cos(45^{\circ})+\sin(45^{\circ}))}[/tex]
[tex]\bf{=-(\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2})}[/tex]
[tex]\boxed{\bf{=-\sqrt{2}}}[/tex]
[tex]\to[/tex]
Nomor 2
Diketahui :
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{x^{2}+2x-8}{x\tan(x-2)}}[/tex]
Ditanya :
Hasil dari tersebut...
Jawaban :
[tex]\to[/tex] Cara cepatnya (pemfaktoran)
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{x^{2}+2x-8}{x\tan(x-2)}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{\left(x+4\right)\left(x-2\right)}{x\tan\left(x-2\right)}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{x+4}{x}\cdot lim_{x\to2}\ \frac{\left(x-2\right)}{\tan\left(x-2\right)}}[/tex]
[tex]\bf{=\frac{\left(2\right)+4}{2}\cdot1}[/tex]
[tex]\bf{=\frac{6}{2}}[/tex]
[tex]\boxed{\bf{=3}}[/tex]
[tex]\to[/tex] cara lain nomor 2 (metode L'Hospital) atau turunan.
[tex] \boxed{\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}} [/tex]
ada hal yang perlu diingat untuk menjawab soal ini :
- [tex]\bf{f(x)=u\cdot v\ \to f'(x)=u'v+uv'}[/tex]
- [tex]\bf{\tan(x)=\sec^{2}(x)}[/tex]
- [tex]\bf{\sec^{2}(x)=1+\tan^{2}(x)}[/tex]
[tex]\to[/tex] Lanjut
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{x^{2}+2x-8}{x\tan\left(x-2\right)}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{\frac{d}{dx}(x^{2}+2x-8)}{\frac{d}{dx}(x\cdot\tan(x-2))}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{2x+x}{(1\cdot\tan(x-2)+x\cdot\sec^{2}(x-2))}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{2x+x}{(\tan(x-2)+x\sec^{2}(x-2))}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{2x+x}{(\tan(x-2)+x(1+\tan^{2}(x-2)))}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{2x+x}{(\tan(2-2)+2(1+\tan^{2}(2-2)))}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{2x+x}{(0+2(1+0))}}[/tex]
[tex]\bf{lim_{x\to2}\ \frac{2x+x}{2}}[/tex]
[tex]\bf{=\frac{2(2)+2}{2}}[/tex]
[tex]\bf{=\frac{6}{2}}[/tex]
[tex]\boxed{\bf{=3}}[/tex]
[tex] \: [/tex]
[tex] \: [/tex]
Pelajari Lebih Lanjut :
[tex] \: [/tex]
[tex] \: [/tex]
Detail Jawaban :
Bab : 7
Sub Bab : Bab 7 - Limit
Kelas : 11 SMA
Mapel : Matematika
Kode kategorisasi : 11.2.6
Kata Kunci : Limit, pemfaktoran, L' Hostpital.
Jawaban Kk gak beda dg jawaban saya
Hanya ada penambahan
= lim x→π/4 -(cos 45° + sin 45°)
pada soal no 1
dan
= lim x→2 (x + 4)(x - 2) / xtan (x - 2)
sebelum dipecah jadi baris ketiga
pada soal no 2
seharusnya,
soal ini masih bs dijwb dengan langkah/cara yang beda.