Question

Siema rozwiąże mi ktoś te logarytmy i napisze co i jak robić ? Najlepiej jakby ktoś zrobił potem tego skan albo foto.Bo już dostaję szału bo ni mogę się tego naumieć.

Answer 1

============================================================

W zadaniach korzystamy z definicji logarytmu:

Jeżeli  a > 0  i  a  jest różne od 1   i  b > 0 , to rozwiązanie równania

a^x = b  nazywamy logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a.

tzn. 

log a ( b ) = x  <=> a^x = b

============================================================

 

z.1

a)  log 2 (x) = - 3  <=> 2^(-3) = x <=>  x = 1/2^3 = 1/8

x = 1/8

=======

b)

log 3 ( 8 - x) = 0  <=> 3^0 = 8 - x <=> 8 - x =  1  <=> x = 7

x = 7

=======

c)

log 3( x^2 + 2) = 3  <=> 3^3  = x^2 + 2 <=> x^2 + 2 = 27  <=> x^2 = 25

x = - 5  lub x = 5

====================

d)

log 1/2 (4x - 3) = - 3 <=> (1/2)^(-2) = 4x - 3  ,=> 2^2 = 4x - 3 <=> 4 = 4x - 3 <=>

<=> 4x = 7

x = 7/4

========

z.2

a)

log 4 log 3 log 2(x) = 0  <=> 4^0 = log 3 log2 (x) <=> log 3 log 2(x) = 1 <=>

<=> 3^1 = log 2 (x) <=> log 2 (x) = 3 <=> 2^3 = x <=> x = 8

x = 8

=====

b)

log 4 log 2 log 3 (x -1) = 1/2 <=> 4^(1/2) = log2 log 3 ( x -1)  <=>

<=> 2 = log2 log 3 (x-1) <=> log 3(x-1) =2^2 = 4 <=> 3^4 = x -1 <=>

<=> x -1 = 81 

x = 82

======

c)

log (x -2) = log ( 5x - 4)  <=>  x - 2  = 5x - 4  <=> 4x = 2

x = 1/2  oraz  x - 2 > 0  i 5x - 4 > 0

czyli  x > 2  i x > 4/5

Brak rozwiązania

===================

d)

log 0,8 ( x^2) = log 0,8 ( 3x)

x^2 = 3x   i  x^2 > 0  i  3x > 0

x^2 - 3x = 0   i  x^2 > 0   i   x > 0

x*( x - 3) = 0  i  x > 0

x = 3

========

z.3

a)  log x  4 = 1/2 <=> x^(1/2) = 4  <=> x = 4^2 = 16

x = 16

=======

b) log x ( 1/81) = 4 <=> x^4 = 1/81 <=> x = 1/3

x = 1/3

=========

c) log x ( 2 - x) = 2  <=> x^2 = 2 - x  <=> x^2 + x - 2 = 0

delta = 1 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9

p(delty) = 3

x = [ - 1 - 3]/2 = -2 < 0  - odpada, bo  x > 0

x = [ -1 + 3]/2 = 1  - odpada , bo  musi być różne od 1

==================

d)

log x ( 3 x^2 - 5x + 2) =2  <=> x^2 = 3 x^2 - 5 x + 2 <=>  2 x^2 - 5x + 2 = 0

delta = 25 - 4*2*2 = 25 - 16 = 9

p(delty) = 3

x = [5 - 3]/4 = 1/2

lub  x = [ 5 + 3]/4 = 2

Oba spełniają założenia

=======================

z.4

a)

log 7 (x +3) - log 7 (x -1) = log 7 (5)

założenia:

x +3 > 0  i  x - 1 > 0 

czyli  x > - 3  i x > 1

x > 1

=====

Mamy

log 7 [ (x +3)/(x -1) = log 7 ( 5)

(x +3)/(x -1) = 5

x +3 = 5*(x -1)

x + 3 = 5 x - 5

4 x =  8

x = 2

===============

b)

2 log 5 (2 -x) - log 5 (x) - log 5 ( x + 5) = 0

Założenia:

2 - x > 0  i  x > 0  i  x + 5 > 0

czyli   x < 2   i  x > 0   i  x > - 5

0 <  x  < 2

==========

Mamy

log 5 (2 -x(^2 - [ log 5 (x) + log 5(x+5) ] = 0

log 5 ( 4 - 4x + x^2 ) - log 5 [ x *(x + 5)] = 0

log 5 [ ( x^ - 4 x + 4)/ ( x^2 + 5 x) ] = 0 = log 5 (1)

( x^2 - 4x + 4)/ ( x^2 + 5 x ) = 1

x^2 - 4 x + 4 = x^2 + 5 x

9 x = 4

x = 4/9

========

c)

log (2x + 5) + log ( x +3) = log (2x + 11)

założenia:

2x + 5 > 0   i    x +3 > 0    i    2x + 11 > 0

czyli  x > - 2,5     i    x > - 3   i  x > - 5,5

x > - 2,5

=======

Mamy

log [ ( 2x + 5)*(x + 3)] = log (2x + 11)

( 2x + 5)*(x + 3) = 2x + 11

2 x^2 + 6 x + 5x + 15 = 2x + 11

2 x^2 + 9 x + 4 = 0

-------------------------

delta = 9^2 - 4*2*4 = 81 - 32 = 49

p (delty) = 7

x = [ - 9 - 7]/4 = - 4 < -2,5  - odpada

lub  x = [ - 9 + 7]/4 = -2/4 = -1/2

x = - 1/2

=========