Si a y b son numeros distintos de cero que cumplen las ecuaciones:
a²+a=2b²+b=50a-49b
¿Cuanto vale a + b?
A)25
B)24
C)74
D)49
a²+a=2b²+b=50a-49b
¿Cuanto vale a + b?
A)25
B)24
C)74
D)49
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La respuesta correcta es la B) 24, ya que existen dos posibles soluciones:
1) a = 14 y b = 10
2) a = 84 y b = -60
Explicación.
Como se tiene una triple igualdad, es posible obtener las siguientes ecuaciones:
a² + a = 2b² + b (1)
a² + a = 50a - 49b (2)
2b² + b = 50a - 49b (3)
De estas tres ecuaciones, se seleccionan dos con las cuales se trabajarán. En este caso se seleccionan las ecuaciones (1) y (3).
a² + a = 2b² + b (1)
2b² + b = 50a - 49b (3)
De la ecuación (3) se despeja la incógnita a.
2b² + b = 50a - 49b
2b² + 50b = 50a
a = b²/25 + b
Ahora se sustituye el valor de a en la ecuación (1).
(b²/25 + b)² + b²/25 + b = 2b² + b
b⁴/625 + (2)(b²/25)(b) + b² = 2b² - b²/25
b⁴/625 + 2b³/25 + b² = 49b²/25
b⁴/625 + 2b³/25 + b² - 49b²/25 = 0
b⁴/625 + 2b³/25 - 24b²/25 = 0
De esta ecuación se pueden obtener las siguientes soluciones:
b² = 0
b²/625 + 2b/25 - 24/25 = 0 (4)
Los resultados de la ecuación (4) son:
b1 = 10
b2 = -60
Ahora ambos resultados se sustituyen en la ecuación (3) con a despejada:
a1 = (10)²/25 + (10) = 14
a2 = (-60)²/25 - 60 = 84
Finalmente se suman a1 + b1 y a2 + b2.
a1 + b1 = 14 + 10 = 24
a2 + b2 = 84 + (-60) = 24