Sertakan teorema apa yang dipakai. Misal deret aritmatika, pythagoras. .... Question from @3Triangle

Bentuk sederhana dari $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{2005(2005+1)}$ adalah $\boldsymbol{\frac{2005}{2006} }$ .

PEMBAHASAN

Deret Teleskopik adalah suatu deret bilangan dimana tiap suku pada deret tersebut saling menghilangkan satu sama lain. Karena saling menghilangkan maka jumlah dari deret ini dapat ditentukan dari suku pertama dan terkahir deret saja.

DIKETAHUI

$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{2005(2005+1)}=$

DITANYA

Tentukan bentuk sederhana dari deret tersebut.

PENYELESAIAN

Deret di atas dapat kita ubah menjadi bentuk :

$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{2005(2005+1)}$

$=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+...+\frac{1}{2005\times2006}+...+\frac{1}{n(n+1)}$

Kita peroleh suku ke-n dari deret tersebut :

$u_n=\frac{1}{n(n+1)}$

$u_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Dengan bentuk rumus $u_n$ kedua, kita bisa tulis ulang kembali suku sukunya menjadi berikut ini.

$u_1=\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$

$u_2=\frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

$u_3=\frac{1}{12}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

$u_4=\frac{1}{20}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$

$u_{2005}=\frac{1}{2005(2005+1)}=\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}$

Maka :

$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{2005(2005+1)}$

$=\left ( 1-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right )+\left ( \frac{1}{4}-\frac{1}{5} \right )+...+\left ( \frac{1}{2005}-\frac{1}{2006} \right )$