Question

(Serius dengan cara yang mudah dipahami) Jumlah empat bilangan pertama suatu barisan aritmetika adalah 24 dan jumlah kuadrat bilangan-bilangan tersebut adalah 164. Carilah bilangan-bilangan tersebut.

Answer 1

Misal :
U1 = suku pertama = a
U2 = suku kedua = a + b
U3 = suku ketiga = a + 2b
U4 = suku keempat = a + 3b

Jumlah 4 bilangan pertama = 24
U1 + U2 + U3 + U4 = 24
a + a + b + a + 2b + a + 3b = 24
(4a + 6b = 24) : 2
(2a + 3b = 12)^2
4a^2 + 2(2a)(3b) + 9b^2 = 144
4a^2 + 12ab + 9b^2 = 144 ....(1)

Jumlah kuadrat 4 bilangan = 164
U1^2 + U2^2 + U3^2 + U4^2 = 164
a^2 + (a + b)^2 + (a + 2b)^2 + (a + 3b)^2 = 164
a^2 + (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 + 4ab + 4b^2) + (a^2 + 6ab + 9b^2) = 164
4a^2 + 12ab + 14b^2 = 164 ....(2)

eliminasikan a^2 dan ab dari (1) dan (2)
4a^2 + 12ab + 9b^2 = 144
4a^2 + 12ab + 14b^2 = 164
____________________ -
-5b^2 = -20
b^2 = -20/-5
b^2 = 4
b = √4
b = 2 atau b = -2

masukkan nilai b ke (1) (boleh ambil salah satu)
b = 2
4a^2 + 12ab + 9b^2 = 144
4a^2 + 12a(2) + 9(2)^2 = 144
4a^2 + 24a + 9(4) - 144 = 0
(4a^2 + 24a + 36 - 144 = 0) : 4
a^2 + 6a + 9 - 36 = 0
a^2 + 6a - 27 = 0
(a + 9)(a - 3) = 0
a = -9 dan a = 3

b = -2
4a^2 + 12ab + 9b^2 = 144
4a^2 + 12a(-2) + 9(-2)^2 = 144
4a^2 - 24a + 9(4) - 144 = 0
(4a^2 - 24a + 36 - 144 = 0) : 4
a^2 - 6a + 9 - 36 = 0
a^2 - 6a - 27 = 0
(a - 9)(a + 3) = 0
a = 9 dan a = -3

masukkan nilai a dan b ke U1, U2, U3, dan U4 (boleh ambil salah satu)
b = 2 dan a = -9
U1 = a = -9
U2 = a + b = -9 + 2 = -7
U3 = a + 2b = -9 + 2(2) = -9 + 4 = -5
U4 = a + 3b = -9 + 3(2) = -9 + 6 = -3

b = 2 dan a = 3
U1 = a = 3
U2 = a + b = 3 + 2 = 5
U3 = a + 2b = 3 + 2(2) = 3 + 4 = 7
U4 = a + 3b = 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9

b = -2 dan a = 9
U1 = a = 9
U2 = a + b = 9 + (-2) = 9 - 2 = 7
U3 = a + 2b = 9 + 2(-2) = 9 - 4 = 5
U4 = a + 3b = 9 + 3(-2) = 9 - 6 = 3

b = -2 dan a = -3
U1 = a = -3
U2 = a + b = -3 + (-2) = -3 - 2 = -5
U3 = a + 2b = -3 + 2(-2) = -3 - 4 = -7
U4 = a + 3b = -3 + 3(-2) = -3 - 6 = -9

Jadi, keempat bilangan tersebut adalah 3, 5, 7, 9 atau -9, -7, -5, -3 atau -3, -5, -7, -9 atau 9, 7, 5, 3

^ = pangkat

maaf kalau salah
semoga membantu