Seorang petani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg. Satu bungkus pupuk jenis I isinya 300 gram dan satu pupuk jenis II isinya 200 gram. kurangnya diperlukan 40 bungkus pupuk dan harga pupuk jenis I Rp40.000,00 perbungkus, jenis II Rp30.000,00 perbungkus. Biaya minimum yang di keluarkan adalah . . . .
Berikan penyelesaiannya!
Berikan penyelesaiannya!
More Questions From This User See All
Materi : Program Linear
Kata Kunci : sistem, pertidaksamaan, linear, nilai, optimum
Pembahasan :
Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).
Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).
Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.
Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.
Mari kita lihat soal tersebut.
Seorang petani anggrek membutuhkan pupuk sebanyak 9 kg. Satu bungkus pupuk jenis I berisi 300 gram dan satu pupuk jenis II berisi 200 gram. Petani tersebut memerlukan sekurang-kurangnya dari 40 bungkus pupuk. Harga pupuk jenis I Rp40.000,00 per bungkus dan harga pupuk jenis II Rp30.000,00 per bungkus. Berapa biaya minimum yang dikeluarkan?
Jawab :
Kita buat tabel terlebih dahulu.
Misalkan pupuk jenis I adalah x dan pupuk jenis II adalah y.
pupuk jenis I pupuk jenis II total
x y 40
300 gr 200 gr 9 kg = 9.000 gr
Rp40.000,00 Rp30.000,00
Kemudian, permasalahan di atas kita buat model matematika yang terdiri dari pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang membentuk suatu sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut.
x + y ≥ 40,
300x + 200 ≤ 9.000 ⇔ 3x + 2y ≤ 90,
x ≥ 0,
y ≥ 0.
Nilai optimum f(x, y) = 40.000x + 30.000y.
Silakan lihat gambar terlampir.
Untuk menentukan titik potong dari sistem pertidaksamaan linear tersebut, kita ubah dahulu menjadi sistem persamaan linear
x + y = 40 ... (1)
3x + 2y = 90 ... (2)
Persamaan (1) dan (2) kita eliminasi y, sehingga
x + y = 40 |.2|
3x + 2y = 90 |.1|
2x + 2y = 80
3x + 2y = 90
__________-
⇔ -x = -10
⇔ x = 10.
Kita substitusikan x = 10 ke persamaan (1), diperoleh
x + y = 40
⇔ y = 40 - x
⇔ y = 40 - 10
⇔ y = 30.
Jadi, titik potong dari sistem persamaan linear tersebut adalah (10, 30).
Kemudian, untuk titik-titik yang lain bisa kita lihat pada gambar.
Pada garis 3x + 2y = 90, jika x = 0, maka y = 45. Sehingga titiknya (0, 45).
Pada garis x + y = 40, jika x = 0, maka y = 40. Sehingga titiknya (0, 40).
Kita substitusikan titik-titik (0, 40), (10, 30), dan (0, 45) ke f(x, y) = 40.000x + 30.000y untuk menentukan nilai optimumnya.
(0, 40) → f(x, y) = 40.000 . 0 + 30.000 . 40 = 0 + 1.200.000 = 1.200.000,
(10, 30) → f(x, y) = 40.000 . 10 + 30.000 . 30 = 400.000 + 900.000 = 1.300.000,
(0, 45) → f(x, y) = 40.000 . 0 + 30.000 . 45 = 1.350.000.
Jadi, biaya minimumnya adalah Rp1.200.000,00 dan biaya maksimumnya adalah Rp1.350.000,00.
Semangat!