Seorang anak diwajibkan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 6 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 4 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 24 unit vitamin A dan 21 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp 5000,00 per biji dan tablet II Rp 4000,00 per biji, maka pengeluaran untuk pembelian tablet per hari adalah
Materi : Program Linear
Kata Kunci : model, matematika, fungsi, optimum
Pembahasan :
Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).
Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).
Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.
Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.
Mari kita lihat soal tersebut.
Seorang anak diwajibkan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 6 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 4 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 24 unit vitamin A dan 21 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp 5000,00 per biji dan tablet II Rp 4000,00 per biji, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari?
Jawab :
Tablet Jenis I Tablet Jenis II
x y
Vitamin A 6 4 24
Vitamin B 3 5 21
5.000 4.000
Misalkan tablet jenis I sebanyak x buah dan tablet jenis II sebanyak y buah, maka model matematika dari persoalan di atas adalah
6x + 4y ≤ 24 ⇔ 3x + 2y ≤ 12
3x + 5y ≤ 21
x ≥ 0, y ≥ 0.
Fungsi optimumnya adalah f(x, y) = 5.000x + 4.000y
Kemudian, dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik potong dari garis-garis
3x + 2y = 12
3x + 5y = 21
Kita eliminasi x, diperoleh
3x + 2y = 12
3x + 5y = 21
__________-
⇔ -3y = -9
⇔ y =
⇔ y = 3
Kita substitusi y = 3 ke persamaan
3x + 2y = 12
⇔ 3x + 2.3 = 12
⇔ 3x + 6 = 12
⇔ 3x = 12 - 6
⇔ 3x = 6
⇔ x =
⇔ x = 2
Berdasarkan gambar pada lampiran, kita peroleh titik-titik yang kita substitusikan ke fungsi optimum f(x, y) = 5.000x + 4.000y, diperoleh
(0,
(2, 3) → 5.000(2) + 4.000(3) = 10.000 + 12.000 = 22.000
(4, 0) → 5.000(4) + 4.000(0) = = 20.000
Jadi, pengeluaran minimumnya adalah Rp16.800,00 pada titik (0,
Semangat!