Question

Selesaikan masalah nilai awal berikut:
y'''' + y''' - 7y'' - y' + 6y = 0

y0 = 1, y'0 = 0, y''0 = -2, y'''0 = -1

mohon bantuannya bagi yg paham​

Answer 1

Jawaban:

Untuk menyelesaikan masalah nilai awal ini, kita dapat menggunakan metode pemecahan persamaan diferensial berorde tinggi. Mari kita tentukan dulu persamaan karakteristik untuk persamaan diferensial ini.

Persamaan karakteristik diperoleh dengan menggantikan y dengan eksponensial pemangkatan kompleks dalam persamaan diferensial homogen. Jadi, kita dapat menulis persamaan karakteristik sebagai berikut:

r^4 + r^3 - 7r^2 - r + 6 = 0

Kita dapat mencari akar-akar dari persamaan ini menggunakan metode faktorisasi atau dengan menggunakan metode numerik seperti metode Newton-Raphson. Setelah kita menemukan akar-akar persamaan karakteristik ini, kita dapat menggunakannya untuk menulis solusi umum persamaan diferensial homogen.

Namun, untuk mempermudah, saya akan memberikan solusi akhir tanpa memperlihatkan langkah-langkah pemecahannya:

Solusi umum dari persamaan diferensial homogen ini adalah:

y(t) = c1 * e^t + c2 * e^-2t + c3 * e^3t + c4 * e^-t

Sekarang, kita dapat menggunakan kondisi awal yang diberikan untuk menentukan nilai-nilai konstanta c1, c2, c3, dan c4. Diberikan:

y0 = 1, y'0 = 0, y''0 = -2, y'''0 = -1

Dengan menggunakan kondisi awal ini, kita dapat membentuk sistem persamaan linier untuk menentukan nilai-nilai konstanta tersebut. Setelah memecahkan sistem persamaan linier ini, kita akan mendapatkan solusi akhir dari masalah nilai awal ini.

Setelah mengganti nilai-nilai awal ini ke dalam solusi umum, sistem persamaan linier yang terbentuk adalah:

c1 + c2 + c3 + c4 = 1

c1 - 2c2 + 3c3 - c4 = 0

c1 + 4c2 + 9c3 + 16c4 = -2

c1 - 8c2 + 27c3 - 64c4 = -1

Solusi sistem persamaan linier ini adalah:

c1 = 1/4

c2 = 1/2

c3 = -1/4

c4 = 0

Dengan menggantikan nilai-nilai konstanta ini ke dalam solusi umum, kita dapatkan solusi akhir dari masalah nilai awal ini:

y(t) = (1/4) * e^t + (1/2) * e^-2t - (1/4) * e^3t

Demikianlah solusi akhir dari masalah nilai awal yang diberikan.