Question

Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A (3,0), B(1,4), C(-3,2) y D (-1,-2) comprueba que es un paralelogramo y determina su centro

Answer 1

Un cuadrilátero que tenga un par de lados opuestos paralelos y de la misma medida es un paralelogramo. El modo más simple de demostrar el enunciado es el uso de vectores. Consideramos los vectores AB y DC
AB = OB - OA = (1, 4) - (3, 0) = (-2, 4)
DC = OC - OD = (-3, 2) - (-1, -2) = (-2, 4)

Son dos vectores paralelos y del mismo módulo

El centro es el punto medio de cualquiera de sus dos diagonales. Sea M dicho punto.
Las coordenadas del punto medio entre otros dos es la semisuma de las coordenadas correspondientes. 
A(3, 0); C(-3, 2)
xm = (3 - 3)/2 = 0; ym = (0 + 2)/2 = 1

Por lo tanto el punto M(0, 1) es el centro.

Verificamos con los puntos B y D: xm = (1 - 1)/2 = 0; ym = (4 - 2)/2 = 1

Saludos Herminio