Question

Dany jest promień Ziemi wynosi R=6.38 10^6m i przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi wynosi g=9.81 m/s^2. Obliczyć pierwszą i drugą prędkość kosmiczną (wykonać działanie na jednostkach i podstawić wartości do końcowych wzorów). Na jaką maksymalną wysokość nad powierzchnią Ziemi wzniesie się ciało wystrzelone pionowo do góry z pierwszą prędkością kosmiczną?

Answer 1

1.
dane:
Mz = 6 *10^24 kg
G = 6,67 * 10^-11 Nm^2/kg62
Rz = 6,37 * 106 m
szukane:
v1 = ?
v2 = ?

Rozwiązanie
I.
Fd = Fg
mv^2/R = G * Mm/R^2  /:m/R
v^2 = GM/R
v1 = V(GM/R)
     V - pierwiastek kwadratowy
[v] = V(Nm^2/kg^2 * kg/m) = V(kg*m/s^2 * m^2/kg * kg/m) = V(m^2/s^2) = m/s 

v1 = V[(6,67 *10^-11 * 6 *10^24/(6,37 *10^6)] = V(40,02/6,37 *10^7) = V(63*10^6) 
v1 = 7,9 *10^3 m/s = 7,9 km/s

II.
Ek = Eg
mv^2/2 = G *Mm/R^2  /:m
v^2/2 = GM/R^2  *2
v^2 = 2GM/R^2
v = V(2GM/R^2)
v = V[(2 * 6,67 * 6 *10^24/(6,37^2)] 
v2 = 11,2 *10^3 m/s = 11,2 km/s

2.
dane:
v = 7,9 *10^3 m/s
g = 9,81 m/s^2
szukane:
h = ?

Z zasady zachowania energii:
Ep = Ek
mgh = mv^2/2  /:m
gh = v^2/2  I*2
2gh = v^2  /:2g
h = v^2/2g

h = (7,9 *10^3 m/s^2)^2/(2 * 9,81 m/s^2)
h = 3,18 *10^3 m = 318 km