Question

Z działa umieszczonego na wysokości 10 m nad powierzchnią ziemi oraz nachylonego pod kątem 30 stopni do poziomu wystrzelono kulę z prędkością v0 = 10 m/s.
W jakiej odległości od działa kula upadnie na ziemię? Z wyjaśnieniem.

Answer 1

Odpowiedź:

Odległość od budynku (wieży, platformy, wysokości)  w jakiej upadnie kula na ziemię, w zaokrągleniu: z = 425,88 m

Wyjaśnienie:

Ruch kuli to tzw. rzut ukośny z wysokości ho.

1. etap wznoszący kuli:

a) prędkości wzdłuż kierunków osi X i osi Y:

sin α = Voy/Vo   -----> Voy = Vo * sinα - prędkość wzdłuż kierunku osi Y

cos α = Vox/Vo ------> Vox = Vo * cos α = const. - prędk. wzdłuż kier. osi X

b) czas wznoszenia kuli od wysokości ho do wysokości h1 (a więc w kierunku osi Y):

Vy(t) = Voy -g*tw   (tw - czas wznoszenia)

W momencie osiągnięcia wysokości h1, prędkość kuli w kierunku osi Y wyniesie Vy(tw) = 0, zatem:

O = Voy - g*tw  ------> g*tw = Voy   ------> tw = Voy*g =( Vo*sin α)/g

c) wysokość wzniesienia się kuli - h1: - to droga w ruchu jednostajnie opóźnionym, czyli:

h1=Voy*tw - 1/2*g*(tw)²   skąd, po przekształceniach (po wstawieniu wyliczonego wcześniej wyrażenia za tw):

h1 = (Voy)²/(2*g) = (Vo*sin α)²/(2*g) = Vo²*sin²(α)/(2*g)

d) całkowita wysokość, na jakiej znajdzie się kula, nim zacznie spadać:

Hc = ho + h1

2) etap spadania:

a) prędkości:

- wzdłuż oxi X: Vx(ts) = Vox = Vo * cosα

- wzdłuż osi Y (ale w dół): Vy(ts) = [tex]\sqrt{2*g*H_{c} }[/tex]

b) czas spadku z wysokości Hc:

ts = [tex]\sqrt{\frac{2*H_{c} }{g}}[/tex]

3. całkowity czas ruchu kuli:

tc = tw + ts

4. zasięg rzutu - odległość od wieży (od budowli o wysokości ho z której wystrzelono kulę) w jakiej znajdzie się kula w momencie upadku na ziemię:

z= Vox * tc

z = Vo*cos α * (tw + ts)

z = Vo * cos α * (Vo*sin α * g + [tex]\sqrt{(2*H_{c}/g )}[/tex])

z = Vo * cos α * (Vo * sin α * g + Vo²*sin²(α)/(2*g)

z = Vo² * cos α * (sin α *g + [Vo * sin² (α) /(2*g)]

Po podstawieniu wartości"

z = (10)²*cos(30°)*((sin30°)*9,81 + [10 * (sin(30°))²/(2*9,81)]

z = 100 * 0,866 * (0,5 * 9,81 + ((0,5)²/(2 * 9,81))

z = 86,6 * ( 4,905 + (0,25/19,62))

z = 86,6 * (4,905 + 0,0127)

z = 86,6 * 4,918

z = 425,88 m