Question

Zalezy mi na tym aby wszystko bylo czytelne, wyjasnione krok po kroku lacznie z rysunkiem. za ciekawa odpowiedz dam naj
1. Pod jakim katem do poziomu trzeba rzucic cialo, aby najwieksza wysokosc, na jaka sie wzniesie, byla rowna polowie zasiegu rzutu?
2. kamień rzucony z prędkością 12m/s pod kątem 45st do poziomu upadł na ziemię w odległości s od miejsca wyrzucenia. z jakiej wysokości należy rzucic kamień aby przy tej samej v0 zasięg byl taki sam

Answer 1

Zadanie 1:
dane:
h = x/2
h₀ - wysokość maksymalna
x₀ - zasięg rzutu

szukane:
α = ?

rozwiązanie:
rozkładamy prędkość początkową v na dwie składowe (prostopadłą i równoległą do ziemi):
v_pros = v*sinα
v_rów = v*cosα

zasięg rzutu to (prędkość pozioma jest stała, nie ma żadnej przeszkody działającej w tym kierunku):
x(t) = t*v*cosα

wysokość w zależności od czasu (tutaj wpływ ma tylko składowa pionowa i przeszkadzająca jej siła ciążenia):
h(t) = t*v*sinα - gt²/2

teraz liczymy czas w którym zostanie osiągnięta maksymalna wysokość, czyli czas w którym ciało zacznie spadać, korzystamy z równania prędkość dla prędkości pionowej (całkowita prędkość w szukanej chwili będzie wynosiła 0:
v(t) = v*sinα - gt
0 = v*sinα - gt
t₀ = v*sinα/g

kiedy ciało będzie w najwyższym punkcie to patrząc poziomo przebędzie połowę drogi:
x₀/2 = x(t₀) = t₀*v*cosα
h₀ = h(t₀) = t₀*v*sinα - gt₀²/2

z warunków zadania:
h₀ = x₀/2
t₀*v*cosα = t₀*v*sinα - gt₀²/2 |*(2/t₀)
2v*cosα = 2v*sinα - gt₀
2v*cosα = 2v*sinα - v*sinα |:v
2cosα = sinα
tgα = 2
α ≈ 26°


zadanie 2
rozumiem, że w tym przypadku jest to rzut równoległy do podłoża?

dane:
v = 12 m/s
α = 45°
g = 9,81 m/s²
s

szukane:
h₀ = ?

rozwiązanie:
Najpierw musimy policzyć zasięg pierwszego rzutu:
rozkładamy prędkość początkową v na dwie składowe (prostopadłą i równoległą do ziemi):
v_pros = v*sinα
v_rów = v*cosα

zasięg rzutu to (prędkość pozioma jest stała, nie ma żadnej przeszkody działającej w tym kierunku):
s(t) = t*v*cosα

wysokość w zależności od czasu (tutaj wpływ ma tylko składowa pionowa i przeszkadzająca jej siła ciążenia):
h(t) = t*v*sinα - gt²/2

liczymy kiedy ciało upadnie (h = 0), mamy jeden wynik bo zakładamy t ≠ 0 i dzielimy przez t:
h(t) = t*v*sinα - gt²/2
0 = t*v*sinα - gt²/2 |*(2/t)
gt = 2v*sinα
t₀ = 2v*sinα/g

teraz wracamy do zasięgu:
s = s(t₀) = 2v²*sinα*cosα/g

Teraz zajmiemy się drugim rzutem:
ponieważ początkowa prędkość pozioma jest zerowa mamy:
h(t) = h₀ - gt²/2

liczmy kiedy ciało upadnie:
0 = h₀ - gt²/2
t₁ = √(2h₀/g)

wreszcie możemy policzyć maksymalny zasięg:
s(t) = vt
s = s(t₁) = v√(2h₀/g)

teraz możemy przyrównać zasięgi:
v√(2h₀/g) = 2v²*sinα*cosα/g |:v
√(2h₀/g) = 2v*sinα*cosα/g
2h₀/g = 4v²*sin²α*cos²α/g² |*(g/2)
h₀ = 2v²*sin²α*cos²α/g
h₀ = 2 * (12 m/s * √2/2 * √2/2)²/9,81 m/s² = 2 * (6 m/s )²/9,81 m/s² = 72 m²/s² / 9,81 m/s² = 72/9,81 m ≈ 7,34 m

jak masz pytania to pisz na pw