pakunek o masie 50kg zsuwa sie z rowni pochylej ruchem jednostajnym o kacie nachylenia 30 stopni do poziomu. Oblicz prace jaka na drodze s=2m wykonuje:
a) sila ciezkosci
b) sila tarcia
przyspieszenje ziemskie 10m/s²
a) sila ciezkosci
b) sila tarcia
przyspieszenje ziemskie 10m/s²
Odpowiedź:
Praca W(Fc) siły ciężkości Fc wynosi: W(Fc) = 500√3 J ≈ 866 J
Praca W(Ft) siły tarcia Ft wynosi: W(Ft) = 0 J
Wyjaśnienie:
Dane:
m = 50 kg - masa pakunku zsuwającego się po równi pochyłej;
α = 30 ° - kąt nachylenia równi pochyłej w stosunku do poziomu;
s = 2 m - droga (przemieszczenie) pakunku po płaszczyźnie
"zsuwnej" równi pochyłej;
Szukane:
W(Fc) = ? - praca siły ciężkości na drodze s
W(Ft) = ? - praca siły tarcia na drodze s
Rozwiązanie:
Podstawowe pojęcia i określenia:
[1] Siła ciężkości (Fc) inaczej ciężar ciała, to siła z jaką ciało o masie m przyciągane jest grawitacyjnie przez Ziemię.
Zapis matematyczny:
Fc = m * g
[2] Siła tarcia (Ft) to iloczyn siły - reakcji podłoża na nacisk wywierany na to podłoże przez ciężar ciała i współczynnika tarcia (czyli charakterystycznej cechy geometrycznej struktury powierzchni po której odbywa się przemieszczenie ciała.
Zapis matematyczny:
Ft = R * ft
[3] Praca (ogólnie - z definicji) - to iloczyn siły działającej na ciało i powodującej jego przemieszczenie, wartości przemieszczenia wywołanego działaniem wspomnianej siły oraz sinusa kąta pomiędzy wektorami działającej siły i przemieszczenia.
Zapis matematyczny:
W = F * s * sinα
[4] płaszczyzna "zsuwna" równi pochyłej - to ta powierzchnia (nachylona pod kątem α w stosunku do poziomu), po której odbywa się ruch ciała na równi pochyłej
Skoro (w myśl treści zadania) pakunek zsuwa się z równi pochyłej ruchem jednostajnym, oznacza to, że siły "ruchowe" a więc działające wzdłuż płaszczyzny "zsuwnej" równi pochyłej wzajemnie się równoważą.
Fakt ten zapiszemy jako:
Fr = Fp
gdzie:
Fr - ogół sił ruchowych, tj, powodujących przemieszczenie ciała w dół
równi pochyłej
Fp - ogół sił przeciwdziałających ruchowi ciała po równi pochyłej
Na równi pochyłej, jako że jej płaszczyzna "zsuwna" nachylona jest w stosunku do poziomu pod pewnym kątem (tu: kątem α), działająca zawsze pionowo siła ciężkości - Fc "rozkłada" się na dwie składowe:
a) składową wzdłużną - ozn. Fcw - działającą wzdłuż płaszczyzny "zsuwnej" równi pochyłej
b) składową normalną - ozn. Fcn - działającą na kierunku prostopadłym w stosunku do płaszczyzny "zsuwnej" równi pochyłej.
Z podstawowej trygonometrii:
ad a) Fcw = Fc * sinα
ad b) Fcn = Fc * cosα
Wobec powyższego, faktyczny nacisk (od siły ciężkości ciała - pakunku) na płaszczyznę "zsuwną" równi pochyłej pochodzi nie od siły ciężkości (Fc) a od jej składowej normalnej (Fcn). Zatem, (w myśl III zasady dynamiki Newtona) podłoże (płaszczyzna "zsuwna" równi pochyłej) poddana naciskowi o wartości siły Fcn oddziałuje na dolną powierzchnię ciała (pakunku) siłą taką samą co do wartości lecz zwróconą przeciwnie - siłą reakcji R. Wobec tego:
R = Fcn
(nie piszę tutaj znaku "-" z drugiej strony znaku "=" gdyż dla formalnych obliczeń nie ma on żadnego znaczenia)
A skoro znamy już zapis matematyczny siły reakcji R, to łatwo zapiszemy w konsekwencji również wzór matematyczny na siłę tarcia pakunku o podłoże (płaszczyznę "zsuwną" równi pochyłej), a mianowicie:
Ft = R * ft = Fcn * ft
Nie znamy jednak wartości współczynnika tarcia - ft.
Z drugiej strony wiemy, że ciało (pakunek) zsuwa się po równi ze stałą prędkością, a więc (co już zostało napisane):
Ft = Fcw
Fcw = Fc * sinα
Ft = Fc * sinα
Przechodzimy teraz do wyliczenia pracy sił: siły ciężkości (Fc) i siły tarcia (Ft).
1) Praca W(Fc) siły ciężkości:
W(Fc) = Fc * s * sinβ (gdzie: β - to kąt między wektorami: siły ciężkości Fc
i przemieszczenia s)
Wartość kąta β wyznaczymy z własności trójkąta prostokątnego, czyli:
α + β = 90°
β = 90° - α
β = 90° - 30°
β = 60°
Stąd:
W(Fc) = m * g * s * sinβ
W(Fc) = 50 kg * 10 m/s² * 2 m * sin(60°)
W(Fc) = 1000 J * (√3)/2
W(Fc) = 500√3 J ≈ 866 J
2) Praca W(Ft) siły tarcia:
W(Ft) = Ft * s * sinγ (gdzie: γ - to kąt między wektorami: siły tarcia Ft
i przemieszczenia s)
Kąt γ = 0°
Ft = Fc * sinα
W(Ft) = Fc * sinα * s * sinγ
W(Ft) = m * g * s * sinα * sinγ
W(Ft) = 50 kg * 10 m/s² * 2 m * sin(30°) * sin(0°)
W(Ft) = 0 J