Question

Rzucamy trzy razy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwa razy suma oczek będzie równa 6

Answer 1

[tex]\huge\begin{array}{ccc}\dfrac{1225}{23328}\end{array}[/tex]

Prawdopodobieństwo zdarzeń.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:

[tex]P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}[/tex]

[tex]A[/tex] - zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu [tex]A[/tex]

[tex]\Omega[/tex] - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych (przestrzeń probabilistyczna)

[tex]|A|,\ |\Omega|[/tex] - moc zbioru (liczba elementów)

Schemat Bernoullego:

[tex]P_n(k)={n \choose k}\cdot p^k\cdot q^{n-k}[/tex]

[tex]p[/tex] - prawdopodobieństwo sukcesu

[tex]q[/tex] - prawdopodobieństwo porażki

[tex]n[/tex] - liczba prób

[tex]k[/tex] - liczba sukcesów

ROZWIĄZANIE:

Rzucamy trzy razy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwa razy suma oczek będzie równa 6.

Co najmniej dwa razy, czyli dwa albo trzy razy.

Obliczamy prawdopodobieństwo sukcesu:

[tex]\Omega=\bigg\{(x,y):x,y\in\{1,2,3,4,5,6\}\bigg\}\\\\|\Omega|=6^2=36\\\\A=\bigg\{(x,y):x,y\in\{1,2,3,4,5,6\}\ \wedge\ x+y=6\bigg\}\\\\A=\{(1,5),\ (2,4),\ (3,3),\ (4,2),\ (5,1)\}\\\\|A|=5\\\\P(A)=\dfrac{5}{36}[/tex]

Obliczamy prawdopodobieństwo korzystając ze schematu Bernoullego:

[tex]n=3,\ k=2\ \vee\ k=3,\ p=\dfrac{5}{36},\ q=1-\dfrac{5}{36}=\dfrac{36}{36}-\dfrac{5}{36}=\dfrac{31}{36}[/tex]

[tex]{3\choose 2}\cdot\left(\dfrac{5}{36}\right)^2\cdot\left(\dfrac{31}{36}\right)^1+{3\choose 3}\cdot\left(\dfrac{5}{36}\right)^3\cdot\left(\dfrac{31}{36}\right)^0\\\\=\dfrac{3!}{2!\cdot(3-2)!}\cdot\left(\dfrac{5}{36}\right)^2\cdot\dfrac{31}{36}+\dfrac{3\!}{3\!\cdot(3-3)!}\cdot\left(\dfrac{5}{36}\right)^3\cdot1\\\\=3\cdot\left(\dfrac{5}{36}\right)^2\cdot\left(\dfrac{31}{36}\right)^1+\left(\dfrac{5}{36}\right)^3[/tex]

[tex]=\left(\dfrac{5}{36}\right)^2\cdot\left(3\cdot\dfrac{31}{36}+\dfrac{5}{36}\right)=\left(\dfrac{5}{36}\right)^2\cdot\left(\dfrac{93}{36}+\dfrac{5}{36}\right)\\\\=\left(\dfrac{5}{36}\right)^2\cdot\dfrac{98}{36}=\dfrac{25}{1296}\cdot\dfrac{98}{36}=\dfrac{25}{1296}\cdot\dfrac{49}{18}=\dfrac{1225}{23328}[/tex]