Question

Rozwiązać zagadnienie początkowe
x'=x+y x(0)=2
y'=4x+y y(0)=0

Answer 1

Wyliczamy y z pierwszego równania:
y = x' - x, różniczkujemy stronami
y' = x'' - x'
No i wstawiamy to co wyliczyliśmy do drugiego równania
x'' - x' = 4x + x' - x
po uporządkowaniu dostajemy równanie jednorodne
x'' - 2x' - 3x = 0
Piszemy wielomian charakterystyczny


Czyli lub
A co za tym idzie dostajemy rozwiązanie
y = x' - x czyli musimy zróżniczkować ostatnie wyrażenie by dostać jeszcze równanie na y

y = 3Ce^{3t} - De^{-t} - Ce^{3t} - De^{-t} = 2Ce^{3t} -2De^{-t}[/tex]
No i by odzyskać jeszcze stałe skorzystajmy z warunków początkowych y(0) = 0 zatem 2C - 2D = 0 czyli C = D
i x(0) = 2 czyli C + D = 2 a stąd mamy C = D = 1 co daje łącznie