Rozwiązać wszystkie zadania według polecenia.wolę odp w załączniku -patrz załącznik.... Question from @danutkass

danutkass @danutkass

September 2018 1 57 Report

Rozwiązać wszystkie zadania według polecenia.

wolę odp w załączniku

-patrz załącznik

Roma

zad. 11

Wyrażenie wymierne ma sens liczbowy, gdy wyrażenie znajdujące się w mianowniku jest różne od zera.

$\frac{x+3}{x-3}$

To wyrażenie ma sens liczbowy, gdy

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

$\frac{x^2+1}{x^2+2x+1}$

To wyrażenie ma sens liczbowy, gdy

$x^2+2x+1 \neq 0$

$(x + 1)^2 \neq 0$

$x + 1 \neq 0$

$x \neq -1$

$\frac{x}{x^3-4x^2+2x-8}$

To wyrażenie ma sens liczbowy, gdy

$x^3-4x^2+2x-8 \neq 0$

$x^2 \cdot (x-4)+2 \cdot (x-4) \neq 0$

$(x-4)(x^2+2) \neq 0$

Iloczyn jest różny od zera, gdy wszystkie czynniki są różne od zera, zatem:

$x-4 \neq 0 \ i \ x^2+2 \neq 0$

$x-4 \neq 0$

$x \neq 4$

$x^2+2 \neq 0$

$x^2 \neq -2$

ponieważ kwadrat każdej liczby jest nieujemny, zatem nierówność jest spełniona dla

$x \in R$

Stąd: $x \neq 4$

Zad. 12

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór takich x ∈ R, dla których mianownik nie jest zerem.

$\frac{2x^7-x^5+1}{3x^2+5x+2}$

$3x^2+5x+2 \neq 0$

$a = 3; \ b = 5; \ c = 2$

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{1} = 1$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5-1}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = - 1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5+1}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = - \frac{2}{3}$

Zatem: $3x^2 + 5x + 2 = 3 \cdot (x +1)(x+\frac{2}{3})$ Stąd:

$3 \cdot (x +1)(x+\frac{2}{3}) \neq 0$

Iloczyn jest różny od zera, gdy wszystkie czynniki są różne od zera, zatem:

$(x +1)(x+\frac{2}{3}) \neq 0$

$x +1 \neq 0 \ i \ x+\frac{2}{3} \neq 0$

$x +1 \neq 0$

$x \neq -1$

$x+\frac{2}{3} \neq 0$

$x \neq -\frac{2}{3}$

czyli dziedziną jest

$D = R \backslash \{-\frac{2}{3}; \ - 1 \}$

Zad. 13

$D = R \backslash \{2; \ 3; \ 7 \}$

Zatem wyrażenie znajdujące się w mianowniku to iloczyn wyrażeń:

$(x - 2)(x - 3)(x - 7)$

Natomiast w liczniku może być wyrażenie, którego dziedziną jest zbiór R, czyli np. trójmian kwadratowy.

$(x - 2)(x - 3)(x - 7) = (x^2 - 3x - 2x + 6)(x - 7) = (x^2 - 5x + 6)(x - 7) =$

$= x^3 - 7x^2 - 5x^2 + 35x + 6x - 42 = x^3 - 12x^2 + 41x - 42$

Zatem przykładem funkcji wymierje, której dziedziną jest zbiór $D = R \backslash \{2; \ 3; \ 7 \}$ może mieć postać:

$f(x) = \frac{x^2+ x + 1}{ x^3 - 12x^2 + 41x - 42}$

Zad. 14

$\frac{2x^4 - 4x^2}{8x^2}$

Założenie:

$8x^2 \neq 0$

$x \neq 0$

$\frac{2x^4 - 4x^2}{8x^2} = \frac{2x^2 \cdot (x^2 - 2)}{8x^2} = \frac{x^2 - 2}{4} = \frac{(x -\sqrt{2} )(x+\sqrt{2})}{4}$

$\frac{(2x-1)(x+4)}{4x^2-1}$

Założenie:

$4x^2-1 \neq 0$

$(2x - 1)(2x+1) \neq 0$

$2x - 1 \neq 0 \ i \ 2x+1 \neq 0$

$2x - 1 \neq 0$

$2x \neq 1 \ /:2$

$x \neq \frac{1}{2}$

$2x + 1 \neq 0$

$2x \neq -1 \ /:2$

$x \neq -\frac{1}{2}$

$x \neq -\frac{1}{2} \ i \ x \neq \frac{1}{2}$

$\frac{(2x-1)(x+4)}{4x^2-1} = \frac{(2x-1)(x+4)}{(2x - 1)(2x+1)} = \frac{x+4}{2x+1}$

Zad. 15

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2x+3}{x + 4}$

Założenie:

$x - 2 \neq 0 \ i \ x + 4 \neq 0$

$x \neq 2 \ i \ x \neq -4$

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2x+3}{x + 4} = \frac{x \cdot (x + 4)}{(x - 2)(x + 4)} + \frac{(2x+3)(x - 2)}{(x - 2)(x + 4)} = \frac{x \cdot (x + 4) + (2x+3)(x - 2)}{(x - 2)(x + 4)} =$

$= \frac{x^2 + 4x+2x^2 - 4x+3x -6}{x^2+4x-2x-8} = \frac{3x^2 +3x -6}{x^2+2x-8}$

Zad. 16

$\frac{x^2-4}{2x^2-x} \cdot \frac{2x-1}{5x+10}$

Założenie:

$2x^2 - x \neq 0 \ i \ 5x + 10 \neq 0$

$2x^2 - x \neq 0$

$x \cdot (2x - 1) \neq 0$

$x \neq 0$

$2x - 1 \neq 0$

$2x \neq 1 \ /: 2$

$x \neq \frac{1}{2}$

$5x + 10 \neq 0$

$5x \neq - 10 \ / :5$

$x \neq - 2$

$x \neq - 2 \ i \ x \neq 0 \ i \ x \neq \frac{1}{2}$

$\frac{x^2-4}{2x^2-x} \cdot \frac{2x-1}{5x+10} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x \cdot (2x - 1)} \cdot \frac{2x-1}{5 \cdot (x +2)} = \frac{x-2}{5x}$

$\frac{x^2+4x+4}{x^2-16} \ : \ \frac{x+2}{2x - 8}$

Założenie:

$x^2 - 16 \neq 0 \ i \ x + 2 \neq 0 \ i \ 2x - 8 \neq 0$

$x^2 - 16 \neq 0$

$(x - 4)(x + 4) \neq 0$

$x - 4 \neq 0$

$x \neq 4$

$x + 4 \neq 0$

$x \neq - 4$

$x + 2 \neq 0$

$x \neq - 2$

$2x - 8 \neq 0$

$2x \neq 8 \ /:2$

$x \neq 4$

$x \neq - 4 \ i \ x \neq - 2 \ i \ x \neq 4$

$\frac{x^2+4x+4}{x^2-16} \ : \ \frac{x+2}{2x - 8} = \frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+4)} \cdot \frac{2x- 8}{x+2} = \frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+4)} \cdot \frac{2 \cdot (x- 4)}{x+2} =$

$= \frac{x+2}{x+4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2x+4}{x+4}$

Zad. 17

$a_n = 4 - \frac{2}{n}$

$a_1 = 4 - \frac{2}{1} = 4 - 2 = 2$

$a_2 = 4 - \frac{2}{2} = 4 - 1 = 3$

$a_3 = 4 - \frac{2}{3} = 3\frac{1}{3}$

$a_4 = 4 - \frac{2}{4} = 3\frac{2}{4} = 3\frac{1}{2}$

$a_5 = 4 - \frac{2}{5} = 3\frac{3}{5}$

$a_6 = 4 - \frac{2}{6} = 3\frac{4}{6} = 3\frac{2}{3}$

b) patrz załącznik

Ciąg jest rosnący jeśli każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego.

$a_n = 4 - \frac{2}{n}$

$a_{n+1} = 4 - \frac{2}{n+1}$

$a_{n+1} a_n = 4 - \frac{2}{n+1} -(4 - \frac{2}{n}) = 4 - \frac{2}{n+1} -4 + \frac{2}{n} = - \frac{2}{n+1} + \frac{2}{n} =$

$= \frac{2}{n} - \frac{2}{n+1} =\frac{2 \cdot (n + 1)}{n \cdot (n+1)} - \frac{2n}{n \cdot (n+1)} =\frac{2n + 2}{n \cdot (n+1)} - \frac{2n}{n \cdot (n+1)} =\frac{2n + 2-2n}{n \cdot (n+1)} =$