Rozwiązać równanie różniczkowe metodami klasycznymi.... Question from @Frigga

Cyna4

Mamy równanie:

$\dfrac{dy}{dx}+y\cos x=0,5\sin2x$

Przekształcamy do innej postaci:

$(y\cos x-0,5\sin2 x)dx+dy=0$

Stąd:

$P(x,y)=y\cos x-0,5\sin2x\\\\Q(x,y)=1$

Pochodne cząstkowe:

$P_y=\cos x\\\\Q_x=0$

Równanie nie jest zupełne. Bierzemy różnicę:

$P_y - Q_x=\cos x$

Dzielimy przez Q, aby otrzymać równanie o jednej zmiennej:

$\dfrac{P_y - Q_x}{Q}=\cos x$

Rozwiązujemy równanie:

$\dfrac{\mu'}{\mu}=\cos x\\\\\dfrac{d\mu}{\mu}=\cos x dx\\\\\ln|\mu|=\sin x +K\\\\\ln|\mu|=\ln e^{\sin x+K}\\\\\mu=e^{\sin x +K}\\\\\mu=e^K\cdot e^{\sin x}\\\\\mu=Ce^{\sin x}$

Kładziemy stałą równą 1:

$\mu(x)=e^{\sin x}$

Mnożymy równanie wyjściowe przez uzyskany czynnik:

$(y\cos x -0,5\sin 2x)e^{\sin x}dx+e^{sin x}dy=0$

Mamy:

$P(x,y)=(y\cos x-0,5\sin 2x)e^{\sin x}\\\\Q(x,y)=e^{sin x}$

Równanie jest zupełne, ponieważ:

$P_y=Q_x=e^{\sin x}\cdot \cos x$

Mamy:

$\dfrac{\partial F}{\partial y}=Q\\\\\dfrac{\partial F}{\partial y}=e^{\sin x}\\\\F(x,y)=ye^{\sin x}+\varphi (x)$

Różniczkujemy po zmiennej x:

$\dfrac{\partial F}{\partial x}=y\cos x\cdot e^{\sin x}+\varphi'(x)$

Porównujemy z P(x,y) i mamy:

$\varphi'(x)=-0,5\sin 2x \cdot e^{\sin x}\\\\\varphi'(x)=-\sin x\cos x \cdot e^{\sin x}$

Liczymy całkę:

$\varphi(x)=\int(-\sin x\cos x \cdot e^{\sin x})dx=\begin{array}{|c|}t=\sin x\\d t=\cos x dx\end{array}=\\\\\\=\int(-te^t)dt=\begin{array}{|c|c|}u'=e^t&v=-t\\u=e^t&v'=-1\end{array}=\\\\\\=-te^t+\int e^t dt=-te^t+e^t=e^t(1-t)=e^{\sin x}(1-\sin x)$

Ostatecznie otrzymujemy:

$F(x,y)=ye^{\sin x}+e^{\sin x}(1-\sin x)\\\\F(x,y)=C\\\\ye^{\sin x}+e^{\sin x}(1-\sin x)=C\\\\ye^{\sin x}=C+e^{\sin x}(\sin x-1)\\\\\boxed{y=Ce^{-\sin x}+\sin x-1}$

2 votes Thanks 1

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social