Question

Rozwiązać równanie różniczkowe metodami klasycznymi​

Answer 1

Metoda czynnika całkującego:

Sprowadzamy równanie do innej postaci:

Wprowadzamy oznaczenia:

Sprawdzamy czy równanie jest zupełne:

Równość nie zachodzi, więc stosujemy metodę czynnika całkującego, aby sprowadzić równanie do równania zupełnego. Najpierw bierzemy różnicę:

Dzielimy to przez P lub Q tak, aby otrzymać wyrażenie zależne tylko od jednej zmiennej. Gdy podzielimy przez P, będziemy mieli x oraz y w wyrażeniu. Gdy podzielimy przez Q, otrzymamy wyrażenie zależne tylko od x, stąd:

Teraz rozwiązujemy równanie postaci:

Rozwiązaniem tego równania jest wyrażenie, przez które należy pomnożyć równanie wyjściowe, aby uzyskać równanie zupełne. Rozwiązujemy:

Liczymy całkę:

Stąd:

Bierzemy dowolną stałą, np. C=1:

Mnożymy równanie wyjściowe przez uzyskany czynnik:

Równanie jest zupełne, ponieważ:

Rozwiązujemy równanie zupełne:

Liczymy teraz pochodną cząstkową po zmiennej x:

Porównujemy z naszym P:

Czyli mamy:

Przyrównujemy to do stałej C:

Rozwiązanie: