Question

Rozwiązać równanie różniczkowe metodami klasycznymi...

Proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie :)

Answer 1

Najpierw przekształcamy równanie:

Wprowadzamy oznaczenia:

Równanie tej postaci nazywamy równaniem zupełnym, jeżeli pochodna cząstkowa po y z P(x,y) jest równa pochodnej cząstkowej po x z Q(x,y). Sprawdzamy:

Zatem mamy równanie zupełne. Wiemy, że zachodzą równości:

Weźmiemy na warsztat tę drugą równość. Wobec tego mamy:

Całkujemy stronami po y i otrzymujemy:

Stała może być funkcją zależną od x. Następnie różniczkujemy otrzymany wynik po zmiennej x:

Porównujemy to z naszym P(x,y):

Liczymy całkę z funkcji po prawej stronie powyższej równości:

Zastosowaliśmy całkowanie przez części (najpierw mnożymy u przez v, później odejmujemy całkę iloczynu tych na dole). Mamy wynik:

Rozwiązanie równania zupełnego to:

,

gdzie C jest dowolną stałą. Wobec tego:

Możemy zostawić w takiej postaci albo wyznaczyć zmienną y: