Rozwiązać równanie macierzowe.... Question from @littledream407

littledream407 @littledream407

June 2022 1 2 Report

Rozwiązać równanie macierzowe

Louie314

Odpowiedź:

$X=\left[\begin{array}{ccc}\frac{19}{4} &3\\\frac{13}{4} &2\end{array}\right]$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Równanie:

$4X+\left[\begin{array}{ccc}5&3\\3&2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}3&3\\2&2\end{array}\right] X$

Przekształcamy do macierzy $X$ :

$\left[\begin{array}{ccc}4&0\\0&4\end{array}\right]X+\left[\begin{array}{ccc}5&3\\3&2\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}3&3\\2&2\end{array}\right] X$

$\left[\begin{array}{ccc}4&0\\0&4\end{array}\right]X-\left[\begin{array}{ccc}3&3\\2&2\end{array}\right] X=-\left[\begin{array}{ccc}5&3\\3&2\end{array}\right]$

$\Big(\left[\begin{array}{ccc}4&0\\0&4\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}3&3\\2&2\end{array}\right]\Big)X=-\left[\begin{array}{ccc}5&3\\3&2\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}1&-3\\-2&2\end{array}\right]X=-\left[\begin{array}{ccc}5&3\\3&2\end{array}\right]$

$X=-\left[\begin{array}{ccc}1&-3\\-2&2\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{ccc}5&3\\3&2\end{array}\right]$

Najpierw niech:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1&-3\\-2&2\end{array}\right]$

Odwracamy macierz:

$$A^{-1}=(A^{D})^{T} \cdot \frac{1}{\det(A)}$

$\det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1&-3\\-2&2\end{array}\right|=2-6=-4$

Minory:

$M_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 2=2$

$M_{12}=(-1)^{1+2} \cdot (-2)=2$

$M_{21}=(-1)^{2+1} \cdot (-3)=3$

$M_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1$

Macierz dopełnień algebraicznych:

$A^{D}=\left[\begin{array}{ccc}2&2\\3&1\end{array}\right]$

Transponowana macierz dopełnień:

$(A^{D})^{T}=\left[\begin{array}{ccc}2&3\\2&1\end{array}\right]$

Macierz odwrotna:

$$A^{-1}=-\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} &\frac{3}{4} \\\frac{1}{2} &\frac{1}{4} \end{array}\right]$

Teraz obliczamy macierz $X$ :

$X=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} &\frac{3}{4} \\\frac{1}{2} &\frac{1}{4} \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}5&3\\3&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{19}{4} &3\\\frac{13}{4} &2\end{array}\right]$