Question

Rozwiąz podane układy równań metodą podstawiania oraz metodą przeciwnych współczynników. Rozsztrzygnij za każdym razem, która metoda jest wygodniejsza.

Było by dobrze jakby to było wytłumaczone krok po kroku.

Answer 1

Zad
a)
2x + 3y = 0,5
3x + y = -1

najłatwiej metodą podstawiania to wyliczyć "y" z drugiego równania (bo nic przy nim nie stoi) i tak:
2x + 3y = 0,5
y = -1 -3x

podstawiamy pod pierwsze równanie wyliczony "y" i mamy:
2x + 3(-1 -3x) = 0,5
2x-3-9x = 0,5
-7x=3,5 |:-7
x=-0,5

teraz jak mamy x to liczymy "y" znów podstawiając:
y = -1 -3x
y = -1 -3*(-0,5)
y= -1 +1,5=0,5

i tak o to x=-0,5, y=-0,5

------------------------------------------------------

teraz metoda przeciwnych współczynników:
2x + 3y = 0,5
3x + y = -1 |*(-3)

2x+3y=0,5
-9x-3y=3
-7x=3,5 |:-7
x=-0,5

wyliczamy "y":
3x + y = -1
3*(0,5) + y = -1
1,5+y=-1
y=0,5

to, że metoda przeciwnych współczynników jest prostsza widać nie tylko po tym, że jest krótsza, ale również po tym, że 2 razy się pomyliłem przy metodzie podstawiania ;)




Zad
b)
2x + y = 14
8x + 1/2y + 35

zakładam, że zamiast "+ 35" winno być "= 35"
zacznijmy od metody podstawiania (tym razem na górze mamy swobodne y) więc:

y = 14 - 2x
8x + 1/2y = 35

podstawiamy pod "y" to co nam wyszło i tak:
8x + 1/2*(14 - 2x) = 35
8x +7 - x = 35
7x=35-7
7x=28 |:7
x=4

podstawiam pod jakieś równanie wyliczony x i mamy:
y = 14 - 2x
y = 14 - 2*4 = 14 - 8 = 6

a więc x=4, y=6

---------------------------------------
teraz to samo zadanie metodą przeciwnych współczynników:
2x + y = 14
8x + 1/2y = 35 |*(-2)

(najlepiej jest mnożyć tak by pozbyć się jakiegoś ułamka jeśli istnieje - i to właśnie robię)

2x+y=14
-16x-y=-70
dodajemy stronami i mamy:
-14x=-56 |:-14
x=4

teraz podstrawiamy wyliczone x:
2x + y = 14
2*4 + y = 14
y=6
i mamy, że x=4, y=6

Powiedziałbym, że mamy tutaj remis co do metod... nie ma krótszej i dłuższej jeśli zauważymy od razu co najłatwiej zrobić.



Zostało finałowe zadanie c)

3x + 4y = 2
5x + 7y = 1

niemamy żadnego "wyrazu wolnego", trzeba go stworzyć:
3x + 4y = 2
5x + 7y = 1

4y = 2 -3x ||:4
5x + 7y = 1

y= 1/2 - 3/4x
5x + 7y = 1

podstawiamy pod y:

5x + 7y = 1
5x + 7*(1/2 - 3/4x) = 1
5x +7/2 -21/4x =1

mamy nieciekawie, ale wybrniemy z tego w prosty sposób (mnożąc wszystko przez wspólny mianownik):
5x +7/2 -21/4x =1 |*4
20x +14 -21x = 4
-x = -10
x=10

i teraz podstawimy:
5x + 7y = 1
5*10 + 7y =1
7y=1-50
7y=-49 |:7
y=-7

i wiemy, że x=10, y=-7, ale było ciężko... teraz weźmy drugą metodę

-------------------------------------
3x + 4y = 2
5x + 7y = 1

pomnóżmy drugie przez to co stoi przy pierwszym y, a pierwsze przez to co stroi przy drugim y, ale z minusem (prosta sztuczka):

3x + 4y = 2 |*(-7)
5x + 7y = 1 |*4

-21x-28y=-14
20x+28y=4
sumujemy i mamy:
-x=-10
x=10

podstawiamy i mamy:
5x + 7y = 1
5*10+7y=1
50+7y=1
7y=-49 |:7
y=-7