Question

Rozwiąż:

y'' -2y' +y= e^x

Answer 1

y'' -2y' +y= e^x

to jest rownanie drugiego rzedu liniowe nijednorodne

Najpierw obliczamy calke rownania jednorodnego

y'' -2y' +y= 0

przyjmujemy

y= e^rx

y'=r e^rx

y"=r²e^rx

podstawiam i upraszczam e^rx  bo rozne od zera

r² -2r+1=0

Δ =4-4=0

r1=r2=2/2=1

Delta jest rowna zero wiec wystapi tkz. czlon wiekowy x*e^x!

y=C1 e^x+c2*x*e^x

szykam calke szczegolna rownania niejednorodnego

y=De^x

y'=De^x

y"=De^x

podstawiam i sprawdzam

De^x -2De^x+De^x=e^x

upraszczam e^x bo rozne od zera

L=P

 

ODP

y= C1 e^x+c2*x*e^x+De^x

ale

y= (C1+D) e^x+c2*x*e^x

mozna przyjac

y= D1 e^x+D2*x*e^x

 

pozdrawiam

 

Hans