Question

rozwiaz rownanie:

Answer 1

(x - 1)³ + (2x + 3)³ = 27x³ + 8
x³ - 3x² + 3x - 1 + 8x³ + 36x² + 54x +27 = 27x³ + 8
x³ - 3x² + 3x - 1 + 8x³ + 36x² + 54x +27 - 27x³ - 8 = 0
-18x³ + 33x² + 57x + 18 = 0 /:3
-6x³ + 11x² + 19x + 6 = 0

(x - 3)(-6x² - 7x - 2) = 0
x - 3 = 0 lub -6x² - 7x - 2 = 0

x - 3 = 0
x₁ = 3

-6x² - 7x - 2 = 0
-6x² - 7x - 2 = 0
Δ = 49 - 48 = 1; √Δ = 1
x₂ = ⁷⁻¹/₋₁₂ = ⁶/₋₁₂ = -½
x₃ = ⁷⁺¹/₋₁₂ = ⁸/₋₁₂ = -⅔

Odp. x₁ = 3; x₂ = -½; x₃ = -⅔

 

 

Wyjaśnienie:

Do znalezienia pierwiastków tego wielomianu wykorzystamy tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu "Jeśli istnieją wymierne pierwiastki wielomianu W(x), to są one postaci p/q, gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a₀, q jest dzielnikiem współczynnika an, gdzie n jest stopniem wielomianu".
Na podstawie tego twierdzenia pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba 3, zatem na podstawie tw. Bezoute'a "Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - a)", czyli -6x³ + 11x² + 19x + 6 dzieli się przez x - 3 i dokonując tego dzielenia otrzymujemy, że -6x³ + 11x² + 19x + 6 = (x - 3)(-6x² - 7x - 2)