Question

Rozwiaz rownania:

a) |x+2|+2|x-2|=7

b) |2x+6|-|x+1|=5

c) (3x-1)(3x+1)=(3x-1)^2

Answer 1

a)

|x + 2| + 2|x - 2| = 7

 

Z def. wartości bezwzględnej:

|x + 2| = x + 2 dla x + 2 ≥ 0, czyli dla x ≥ - 2

|x + 2| = - x - 2 dla x + 2 < 0, czyli dla x < - 2

 

|x - 2| = x - 2 dla x - 2 ≥ 0, czyli dla x ≥ 2

|x - 2| = - x + 2 dla x - 2 < 0, czyli dla x < 2

 

Zatem rozpatrujemy 3 przypadki:

1) x ∈ (- ∞; - 2)

W tym przedziale równanie przyjmuje postać

- x - 2 + 2·(- x + 2) = 7

- x - 2 - 2x + 4 = 7

- 3x + 2 = 7

- 3x = 7 - 2

- 3x = 5 /:(- 3)

x = - ⁵/₃

x = - 1⅔

Rozwiązanie to nie spełnia założenia, bo nie należy do przedziału (- ∞; - 2), czyli

x ∈ Ф

 

2) x ∈ <- 2; 2)

W tym przedziale równanie przyjmuje postać:

x + 2 + 2·(- x + 2) = 7

x + 2 - 2x + 4 = 7

- x + 6 = 7

- x = 7 - 6

- x = 1 /·(- 1)

x = - 1

Rozwiązanie to spełnia założenie, tj. należy do rozważanego przedziału, czyli

x = - 1

 

3) x ∈ <2; + ∞)

W tym przedziale równanie przyjmuje postać:

x + 2 + 2·(x - 2) = 7

x + 2 + 2x - 4 = 7

3x - 2 = 7

3x = 7 + 3

3x = 9 /:3

x = 3

Rozwiązanie to spełnia założenie, tj. należy do rozważanego przedziału, czyli

x = 3

 

Ostatecznie rozwiązaniem równania |x + 2| + 2|x - 2| = 7 są liczby x ∈ {-1; 3}

 

Odp. x = - 1 lub x = 3

 

 

b)

|2x + 6| - |x + 1| = 5

 

Z def. wartości bezwzględnej:

|2x + 6| = 2x + 6 dla 2x + 6 ≥ 0, czyli dla x ≥ - 3

|2x + 6| = - 2x - 6 dla 2x + 6 < 0, czyli dla x < - 3

 

|x + 1| = x + 1 dla x + 1 ≥ 0, czyli dla x ≥ - 1

|x + 1| = - x - 1 dla x + 1 < 0, czyli dla x < - 1

 

Zatem rozpatrujemy 3 przypadki:

1) x ∈ (- ∞; - 3)

W tym przedziale równanie przyjmuje postać:

-2x - 6 - (- x - 1) = 5

- 2x - 6 + x + 1 = 5

- x - 5 = 5

- x = 5 + 5

- x = 10 /·(- 1)

x = - 10

Rozwiązanie to spełnia założenia, bo należy do przedziału (- ∞; - 3), czyli

x = - 10

 

2) x ∈ <- 3; - 1)

W tym przedziale równanie przyjmuje postać:

2x + 6 - (- x - 1) = 5

2x + 6 + x + 1 = 5

3x + 7 = 5

3x = 5 - 7

3x = - 2 /:3

x = - ⅔

Rozwiązanie to nie spełnia założenie, tj. nie należy do rozważanego przedziału, czyli

x ∈ Ф

 

3) x ∈ <- 1; + ∞)

W tym przedziale równanie przyjmuje postać:

2x + 6 - (x + 1) = 5

2x + 6 - x - 1 = 5

x + 5 = 5

x = 5 - 5

x = 0

Rozwiązanie to spełnia założenie, tj. należy do rozważanego przedziału, czyli

x = 0

 

Ostatecznie rozwiązaniem równania |2x + 6| - |x + 1| = 5 są liczby x ∈ {-10; 0}

 

Odp. x = - 10 lub x = 0

 

 

c)

(3x - 1)(3x + 1) = (3x - 1)²

9x² - 1 = 9x² - 6x + 1

9x² - 9x² + 6x = 1 + 1

6x = 2 /:6

x = ²/₆

x = ⅓

 

Odp. x = ⅓