Question

Rozwiąż zadania z załącznika

Answer 1

Odpowiedź:

Zadania wykonam w załączniku

Szczegółowe wyjaśnienie:

Answer 2

Odpowiedź:

13.    Wyraz  a1   jest równy:   A.  12  

14.    Wyraz  a1 jest równy   A. 256/81

15.    A.    tgα = 3/4

16.      Wyrażenie    (1 - coc²α)/ cosa  jest równe    D.  tgα • sinα  

Szczegółowe wyjaśnienie:

13.

W ciągu arytmetycznym każdy następny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy  r  do wyrazu poprzedniego, utworzymy kilka wyrazów:

a1 = a1,

a2 = a1 + r,

a3 = a1 + 2r,

a4 = a1 + 3r,

a5 = a1 + 4r,     więc widać już wzór na wyraz ogólny ciągu:

____________

an = a1 + (n - 1)r

Z danych zadania mamy:     a21 = 2012,   r = 100,  obliczyć   a1 = ?

Ze wzoru ogólnego mamy:   a21 = a1 + (21- 1)•100 = 2012   to  

a1 + (20)•100 = 2012  to  

a1 =  (20)•100 = 2012 - 20 •100 = 2012 - 2000 = 12

  to    Odpowiedź:  Wyraz  a1 jest rowny:  A.  12  

14.

W ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stały iloraz q, utworzymy kilka wyrazów ciągu:

a1 = a1

a2 = (a1)•q

a3 = (a1)•q•q = (a1)•q²

a4 = (a1)•q²•q = (a1)•q³

a5 = (a1)•q³•q = (a1)•q⁴,        (- z tych kilku wyrazów ciągu można już zauważyć

...........................................     zależność na ogólny wyraz ciągu):

an = (a1)•q^{n-1},  an = a1 razy q do potęgi {n-1}, a z tej zależności na an możemy sobie ułożyć jakieś równania (układ równań) czytając treść zadania:

Dane z treści zadania:   a1 = 3/4,    a2 = 1,  Obliczyć  a5 = ?  

Jeżeli wyraz następny powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stały iloraz   q,  to iloraz  q  możemy obliczyć przez podzielenie dowolnego wyrazu następnego przez  jego wyraz poprzedni:

q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ..., = a(n+1)/an

Z danych zadania mamy:  q = a2/a1 = 1:(3/4) = 1•(4/3) = 4/3

Sprawdzenie:  a2 = (a1)•q   to   1 = (3/4)•(4/3) = 1, co należało sprawdzić.

Mamy obliczyć   a5,   z wyrazu ogólnego  a5 = (a1)•q⁴ = 1•(4/3)⁴ = 256/81

a5 = (a1)•q⁴ = 1•(4/3)⁴ = 256/81 = 243/81 + 13/81 = 3 + 13/81 = 3i13/81

Odpowiedź:  Wyraz  a1 jest równy   A. 256/81  

15.

cosα = 4/5  i  α  jest kątem ostrym.

Rysujemy trójkąt prostokątny,  poziomą przyprostokątną, zgodnie z def. funkcji cosα  oznaczamy  4, przeciwprostokątną oznaczamy  5   a między nimi zaznaczamy kąt  α, szukaną przyprostokątną pionową

oznaczamy   x,   z tw. Pitagorasa  mamy:

x² + 4² = 5²   to   x² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9     to   x = 3   bo   3² = 9,

na trójkącie  przy  x dopisujemy  3,  ...teraz z opisanego trójkąta  możemy napisać wszystkie funkcje kąta   α,    to mamy:

sinα = 3/5;      tgα = 3/4;   ctgα = 4/3.

Patrzymy na zadaniu co tam "Oni" nam  napisali:  

       Pasuje tylko  tgα = 3/4,    to   Odpowiedź:   A.    tgα = 3/4

16.

Co nam tu napisali:  że wyrażenie   (1 - coc²α)/ cosa jest równe:

Rysujemy trójkąt  prostokątny, oznaczamy tradycyjnie, przyprostokątna pozioma   a,  pionowa  b,  przeciwprostokątna  c,   kąt   α   przy poziomej przyprostokątnej.

Napiszemy sobie z tego trójkąta takie takie równanie, wyrażenie:

(a/c)² + (b/c)² = (a² + b²)/c²,  

ale my wiemy, że dla tego trójkąta,  to  z  tw. Pitagorasa:   a² + b² = c²

więc nasze równanie napiszemy jeszcze raz, ale już uwzględnimy to ostatnie spostrzeżenie, wiec mamy:

(a/c)² + (b/c)² = c²/c² = 1.  Wiemy jeszcze,   że  sinα = a/c,   cosα = b/c,  

więc napiszemy jeszcze raz nasze równanie: sin²α + cos²α = 1

Wyprowadziliśmy chyba najbardziej znany wzór, popularnie określa się go jako jedynka trygonometryczna  czy  jedynka "Pitagoryjska" (nie ma ścisłej nazwy.

Napiszemy nasze wyrażenie z zadania:   (1 - coc²α)/ cosa,

Z jedynki trygonometrycznej bardzo często się korzysta, więc my też skorzystamy:

sin²α + cos²α = 1    to   sin²α = 1 - cos²α, podstawimy do naszego wyrażenia z zadania, więc mamy:

(1 - coc²α)/ cosa = sin²α/cosα = (sinα)•sinα/cosα =

(sinα/cosα)•sinα = tgα • sinα,

przecież wiemy, że   sinα/cosα = tgα.

Odpowiedź:  Wyrażenie    (1 - coc²α)/ cosa  jest równe    D.  tgα • sinα