Rozwiąż w zadaniu 1 a,b i c natomiast w 3 tylko a) Dam naj za wykonanie.... Question from @Morfolog

January 2019 1 8 Report

Rozwiąż w zadaniu 1 a,b i c natomiast w 3 tylko a)
Dam naj za wykonanie

Ysera Zad. 1

a)

$f(x) = -x^{3} + 3x^{2} + 9x + 2 \\ \\ f'(x) = -3x^{2} + 6x + 9 \\ \\ f'(x) = 0 \implies -3x^{2} + 6x + 9 = 0$

Rozwiązuję zwykłe równanie kwadratowe

$-3x^{2} + 6x + 9 = 0 \ \ \ |:(-3) \\ \\ x^{2} -2x - 3 = 0 \\ \\ \Delta = (-2)^{2} - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16 \\ \\ \sqrt{\Delta} = 4 \\ \\ x_{1} = \frac{2-4}{2} = -1 \\ \\ x_{2} = \frac{2+4}{2} = 3$

Zatem punktami podejrzanymi o ekstremum są x=-1 i x=3

Rysując przybliżony wykres pochodnej funkcji zauważam, że przy x=-1 pochodna zmienia znak z "-" na "+", zatem w tym miejscu jest minimum.

Przy x=3 pochodna zmienia znak z "-" na "+", zatem tutaj jest maksimum.

$\boxed{f(-1)_{min} = -3} \\ \\ \boxed{f(3)_{max} =29 }$

b)

$f(x) = x^{4} - 8x^{2}+6 \\ \\ f'(x) = 4x^{3} - 16x \\ \\ f'(x) = 0 \implies 4x^{3} - 16x = 0$

Rozwiązuje proste równanie

$4x^{3} - 16x = 0 \\ \\ 4x(x^{2} - 4) = 0 \\ \\ 4x(x-2)(x+2) = 0 \\ \\ 4x = 0 \ \vee \ x-2 =0 \ \vee \ x+2 = 0 \\ \\ x = 0 \ \vee \ x = 2 \ \vee \ x = -2$

Tym razem dla określenie czy dane punkty są ekstemami i jakim rodzajem posłużę się drugą pochodną.

$f''(x) = 12x^{2} - 16 \\ \\ f''(0) = 12 \cdot 0^{2} - 16 = -16 \ \textless \ 0 \\ \\ f''(2) = 12 \cdot 2^{2} - 16 = 32 \ \textgreater \ 0 \\ \\ f''(-2) = 12 \cdot (-2)^{2} - 16 = 32 \ \textgreater \ 0$

Zatem

$\boxed{f(0)_{max} = 6} \\ \\\boxed{ f(2)_{min} = -10} \\ \\ \boxed{f(-2)_{min} = -10}$

c)

$f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + x^{2} - 3 \\ \\ f'(x) = 2x^{3} + 2x \\ \\ f'(x) = 0 \implies 2x^{3} + 2x = 0$

Ponownie proste równanie do rozwiązania

$2x^{3} + 2x = 0 \\ \\ 2x \cdot \underbrace{(x^{2}+1) }_{x \in\not \hbox{R}} = 0 \\ \\ x = 0$

Ponownie rysując przybliżony wykres zauważam, że pochodna zmienia w pobliżu punktu znak z "-" na "+"

Zatem w tym punkcie znajduje się minimum

$\boxed{f(0)_{min} = -3}$

Zad. 3

a)

$f(x) = 3x^{5} + 20x^{3} + 60 x \\ \\ f'(x) = 15x^{4} + 60x^{2} + 60 \\ \\ f'(x) = 0 \implies 15x^{4} + 60x^{2} + 60 = 0$

Jest to równanie dwukwadratowe, które najłatwiej rozwiązań za pomocą podstawienia $t = x^{2}; \ \ \ t \ \textgreater \ 0$

$15t^{2} + 60 t + 60 = 0 \ \ \ |:15 \\ \\ t^{2} + 4t + 4 \\ \\ (t+2)^{2} = 0 \\ \\ t+2 =0 \\ \\ t = -2 \not\in D$

Ponieważ pierwsza pochodna nie zeruje się w żadnym punkci, zatem nie jest spełniony warunek konieczyn istnienia ekstremum a co za tym idzie funkcja nie ma żadnych ekstremów.

2 votes Thanks 1