Question

Rozwiąż układ równań:

(x-y)(x²-y²)=3

(x+y)(x²+y²)=39

Proszę o wyjaśnienie poszczególnych kroków.

Pozdrawiam bardziej uczonych od siebie. ;)

Answer 1

(x-y)(x²-y²)=3

(x+y)(x²+y²)=39

 

rozpisujemy nawiasy

²  ³

(1) x³ - x²y - xy² + y³ = 3

(2) x³ + x²y + xy² + y³ = 39

 

teraz sumujemy stronami (1) i (2)

2x³ + 2y³ = 42

x³ + y³ = 21

 

teraz odejmujemy stronami od (2) równanie (1)

2x²y + 2xy² = 36

x²y + xy² = 18

 

Teraz policzmy sobie coś takiego:

(x + y)³ =

= x³ + 3x²y + 3xy²+ y³ =

= x³ + y³ + 3x²y + 3xy² =

= (x³ + y³) + 3(x²y + xy²) =

= 21 + 3*18 = 21 + 54 = 75

 

Czyli

(x + y)³ = 75

 

Zatem x + y = ³√75

 

Teraz pozostają najbardziej upierdliwe obliczenia, które pozostawiam do samodzielnego wykonania:

 

zaczynamy od równania, które otrzymaliśmy powyżej:

x²y + xy² = 18

xy(x+y) = 18

xy * ³√75 = 18

Ale y = ³√75 - x, czyli

x * (³√75 - x) * ³√75 = 18

-³√75 * x² + ³√75 * ³√75 * x - 18 = 0

³√75 * x² - ³√75 * ³√75 * x + 18 = 0

 

a = ³√75

b = - (³√75)²

c = 18

 

Δ = b² - 4ac = (³√75)⁴ - 4 * 18 * ³√75 = ³√75 * (75 - 72) = 3 * ³√75

 

x₁ = (-b - √Δ) / 2a = ...

x₂ = (-b - √Δ) / 2a = ...