Question

Rozwiąż układ nierówności :

(x+1)(x-5) <0
-xkwadrat + x + 6 > 0

Próbowałam to rozwiązać i wyszło mi że x ma należeć do przedziału (3;5) a w odpowiedziach jest, że (-1;3), czy ktoś by mógł mi to wytłumaczyć? Z góry dziękuję.

Answer 1

(x + 1)(x - 5)< 0

-x² + x + 6 > 0

Obliczamy najpierw przedział liczbowy dla x z pierwszej nierówności

(x + 1)(x - 5) < 0

Aby nierówność była spełniona musi być

(x + 1) > 0 i (x - 5) < 0 lub (x + 1) < 0 i (x - 5) > 0

x > -1 i x < 5 lub x < - 1 i x > 5

Wynika z tego , że rozwiązaniem jest przedzdział (-1,5)

Poniewąż należy znaleźć przedział liczbowy , dla którego obydwie nierówności będą spełnione , to sprawdzamy czy przedział z pierwszej nierówności jest rozwiązaniem dla drugiej. Bierzemy liczby krańcowe przedziału i wstawiamy do drugiego równania

-x² + x + 6 > 0

za x wstawiamy -1

-1 - 1 + 6 > 0

Wynika z tego , że -1 spełnia warunki drugiej nierówności podobnie jak liczby > -1

za x wstawiamy 5

-25 + 5 + 6 > 0 sprzeczne więc 5 nie należy do wspólnego rozwiązania

za x wstawiamy 4

-16 + 4 + 6 > 0 sprzeczne , również 4 nie jest rozwiązaniem

za x wstawiamy 3

-9 + 3 + 6 > 0 sprzeczne bo jest to równość . Wynika z tego , że liczby < 3 będą rożwiązaniem wspólnym nierówności

Z tych rozważań wynika , że wspólnym rozwiązaniem jest

x > - 1 i x < 3 , czyli (-1,3)

Answer 2

 

Rozwiązuję pierwszą nierówność (można to oczywiście zrobić licząc deltę itd. Ja korzystam z postaci iloczynowej f. kwadratowej:

Miejscami zerowymi są -1 i 5

Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział:

Rozwiązuję drugą nierówność:

Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:

Zaś rozwiązaniem układu tych nierówności jest część wspólna obu przedziałów, czyli