Question

Rozwiąż równanie.

1).

2). 2sin

Answer 1

z.1

1 + sin 2x = cos 2x

sin ^2 x + cos ^2 x + 2 sin x * cos z = cos ^2 x - sin ^2 x

2 sin ^2 x + 2 sin x * cos x = 0

2 sin x * ( sin x + cos x ) = 0

sin x = 0   lub   sin x + cos x = 0

 

sin x = - cos x

sin ^2 x + cos ^2 x = 1

--------------------------

( - cos x)^2 + cos  ^2 x = 1

2 cos ^2 x = 1

cos ^2 x = 1/2

cos x = - p(2)/2   lub  cos x = p(2)/2

Mamy

x =   pi*k     lub   x = - pi/4 + 2 pi*k   lub  x =  pi/4 + 2 pi*k

ale  x = pi/4 + 2 pi*k  nie spełnia wyjściowego równania, zatem

Odp.  x =  pi*k    lub  x = - pi/4 + 2 pi*k ,  gdzie   k  - liczba całkowita

===============================================================

 

 

z. 2  

 

2 sin ^2 x - sin ^2 (2x) = cos ^2 (2x)

2 sin ^2 x - [ 2 sin x * cos x]^2 = [ cos ^2 x - sin ^2 x]^2

2 sin ^2 x - 4 sin^2 x * cos ^2 x = cos ^ 4 x - 2 sin ^2 x * cos ^2 x + sin ^4 x

2 sin ^2 x - 2 sin ^2 x * cos ^2 x = cos ^4 x + sin ^ 4 x

sin ^4 x + cos ^ 4 x + 2 sin ^2 x * cos ^2 x - 2 sin ^2 x = 0

sin ^2 x*[ sin ^2 x - 2]  + cos ^2 x *[ cos ^2 x + 2 sin ^2 x]

Podstawiam

t = sin^2 x,  wtedy  cos^2 x = 1 - t

Mamy

t*[ t - 2] + ( 1 - t)*[ 1 - t + 2 t ] = 0

t^2 - 2 t + ( 1 - t)*(1 + t) = 0

t^2 - 2 t + 1 - t^2 = 0

-2 t + 1 = 0

2 t = 1

t = 1/2

czyli

sin ^2 x = 1/2

sin x = - p(2)/2   lub  x = p(2)/2

x = - pi/4 + 2 pi*k     lub  x =  pi/4 + 2 pi*k,  gdzie    k  - dowolna   liczba całkowita

=======================================================================