Rozwiąż równanie sin3x = cos5x , gdzie x należy ( 0; pi ) oraz proszę o wytłumaczenie.... Question from @Tsukiyomi

January 2019 1 221 Report

Rozwiąż równanie sin3x = cos5x , gdzie x należy ( 0; pi ) oraz proszę o wytłumaczenie

Paawełek 1. Przyrównuję równość do zera:

$\sin(3x) - \cos(5x)=0$

2. Wykorzystuję wzór redukcyjny:

$\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x$

Na jego podstawie otrzymamy, że

$\cos (5x)=\sin \left(5x+\frac{\pi}{2}\right)$

Co nam daje już równanie:

$\sin (3x) - \sin \left(5x+\frac{\pi}{2}\right)=0$

3. Wykorzystam teraz wzór na różnicę sinusów:

$\sin x - \sin y= 2\sin \dfrac{x-y}{2}\cos \dfrac{x+y}{2}$

teraz masz równość:

$2\sin \dfrac{3x-5x-\frac{\pi}{2}}{2}\cos \dfrac{3x+5x+\frac{\pi}{2}}{2}=0 \\ \\ 2\sin \left(-x-\frac{\pi}{4}\right)\cos \left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \\ \\ -2\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos \left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \qquad /:(-2) \\ \\ \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cos \left( 4x+\frac{\pi}{4}\right)=0$

4. Każdy czynnik należy teraz przyrównać do zera.

4a najpierw sinus:

$\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\\ \\ x+\dfrac{\pi}{4}=\pi k \\ \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k \\ \\ \hbox{W przedziale} \ (0, \pi) \ \hbox{znajdujesz rozwiazanie tylko dla k=1:} \\ \\ x= -\dfrac{\pi}{4}+\pi=\dfrac{3\pi}{4}$

4b teraz kosinus:

$\cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \\ \\ 4x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \\ 4x= \dfrac{\pi}{4}+k\pi \qquad /:4 \\ \\ x=\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{\pi}{4}k=\dfrac{\pi + 4\pi k}{16} \\ \\ \hbox{W podanym przedziale znajdujesz rozwiazanie dla k=0, k=1, k=2 i} \\ \hbox{k=3:} \\ \\ x=\dfrac{\pi}{16} \\ \\ x=\dfrac{\pi+4\pi}{16}=\dfrac{5\pi}{16} \\ \\ x=\dfrac{\pi+8\pi}{16}=\dfrac{9\pi}{16} \\ \\ x=\dfrac{\pi+12\pi}{16}=\dfrac{13\pi}{16}$

5. Zbierasz wszystko i formułujesz odpowiedź: W podanym przedziale równanie to spełniają poniższe liczby:

$x_1=\dfrac{\pi}{16} \quad , \quad x_2=\dfrac{5\pi}{16} \quad , \quad x_3=\dfrac{9\pi}{16} \quad , \quad x_4=\dfrac{3\pi}{4} \quad , \quad x_5=\dfrac{13\pi}{16}$

2 votes Thanks 1