Question

Rozwiąż równanie 4sin³x - 8sin²x - sinx + 2 = 0.

[Wakacyjna lista wyzwań ; 28]

Answer 1

Z dwóch pierwszych wyrazów wyciągamy 4sin²x, a z dwóch kolejnych wyciągamy minusa

4sin²x(sinx-2)-(sinx-2)=0

(sinx-2)(4sin²x-1)=0

Drugi nawias sprowadzamy do wzoru skróconego mnożenia

(simx-2)(2sinx-1)(2sinx+1)

Przyrównujemy nawiasy do zera

sinx-2=0

sinx=2

Równanie nie ma rozwiązań, gdyż x należy tylko do zbioru <-1,1> (wystarczy popatrzeć na jakich wartościach rozciąga się sinusoida

2sinx+1=0

sinx=-½

Sin jest ujemny w trzeciej i czwartej cwiartce

x0=π/6

3ćw. (π+x0)

x=π+π/6+2kπ

x=7/6π+2kπ

4ćw.(-x0)

x=-π/6+2kπ

2sinx-1=0

sinx=½

Sinus jest dodatni w pierwszej i drugiej ćwiartce

1ćw.(x0)

x=π/6+2kπ

2ćw.(π-x0)

x=π-π/6+2kπ

x=⅚π+2kπ

Podsumowując

x={-π/6+2kπ ; π/6+2kπ ; ⅚π+2kπ ; 7/6π+2kπ}