Rozwiąż równania, podaj założenia:Dziękuję!.... Question from @AgaP777

AgaP777 @AgaP777

November 2018 1 10 Report

Rozwiąż równania, podaj założenia:

$\frac{(x+7)(x^{4}-4)}{x^3 - x^2 - 2x +2} = 0 \\ \frac{-3+5x}{x-2} = \frac{x-2}{x-1} +1$

Dziękuję!

Alexsandrixonka

Obliczamy dziedzinę podanego wyrażenia:

$D:\\x^{3}-x^{2}-2x+2\neq0\\\\x^{3}-x^{2}-2x+2=0\\x^{2}(x-1)-2(x-1)=0\\(x^{2}-2)(x-1)=0\\(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-1)=0\\\\x-\sqrt{2}=0 \ lub \ x+\sqrt{2}=0 \ lub \ x-1=0\\x=\sqrt{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-\sqrt{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=1\\x \in R \backslash\{-\sqrt{2}; \ 1; \ \sqrt{2}\}$

Obliczamy wartość rozwiązań równania i sprawdzamy, czy należą one do dziedziny:

$\frac{(x+7)(x^{4}-4)}{x^{3}-x^{2}-2x+2}=0\\\\(x+7)(x^{4}-4)=0\\(x+7)(x^{2}-2)(x^{2}+2)=0\\(x+7)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^{2}+2)=0\\x+7=0 \ lub \ x-\sqrt{2}=0 \ lub \ x+\sqrt{2}=0 \ lub \ x^{2}+2=0\\x=-7 \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\sqrt{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-\sqrt{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^{2}\neq-2\\x \in D \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \not\in D \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \not\in D \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ brak \ rozwiazan\\\\x \in\{-7\}$

Porządkujemy równanie, sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika i zapisujemy równanie w najprostszej postaci:

$\frac{-3+5x}{x-2}=\frac{x-2}{x-1}+1\\\\\frac{5x-3}{x-2}-\frac{x-2}{x-1}-1=0\\\\\frac{(5x-3)(x-1)}{(x-2)(x-1)}-\frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x-1)}-\frac{(x-2)(x-1)}{(x-2)(x-1)}=0\\\\\frac{5x^{2}-5x-3x+3}{(x-2)(x-1)}-\frac{x^{2}-4x+4}{(x-2)(x-1)}-\frac{x^{2}-x-2x+2}{(x-2)(x-1)}=0$

$\frac{(5x^{2}-8x+3)-(x^{2}-4x+4)-(x^{2}-3x+2)}{(x-2)(x-1)}=0\\\\\frac{5x^{2}-8x+3-x^{2}+4x-4-x^{2}+3x-2}{(x-2)(x-1)}=0\\\\\frac{3x^{2}-x-3}{(x-2)(x-1)}=0$

Otrzymaliśmy postać wyrażenia, dzięki której możemy obliczyć dziedzinę wyrażenia:

$D:\\(x-2)(x-1)\neq0\\\\(x-2)(x-1)=0\\x-2=0 \ lub \ x-1=0\\x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=1\\x \in R \backslash \{1; \ 2\}$

Obliczamy wartość rozwiązań równania i sprawdzamy, czy należą one do dziedziny:

$\frac{3x^{2}-x-3}{(x-2)(x-1)}=0\\\\3x^{2}-x-3=0\\\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4*3*(-3)=1+36=37\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{37}\\x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{37}}{6} \in D\\\\x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{37}}{6} \in D\\\\x\in \{\frac{1-\sqrt{37}}{6}; \ \frac{1+\sqrt{37}}{6} \}$