Question

Rozwiąż podane równania: b) 8x^5+x^4+64x^2+8x=0 c) 2x^3+4x-x^2-2=0 d) x^4+3x^2+2=0 e) x^5+4x=0 f) (x^2-2x+1)(x^2-5)=0 g) x^3-7x+6=0

Answer 1

b) 8x⁵ + x⁴ + 64x² + 8x = 0

    x(8x⁴+x³+64x+8) = 0

    x[x³(8x+1)+8(8x+1)]=0      (grupowanie wyrazów)

    x(8x+1)(x³+8)=0

    x(8x+1)(x+2)(x²-2x+4)=0       (wzór na sumę sześcianów)

    x=0  ∨ 8x+1=0  ∨ x+2=0  ∨ x²-2x+4=0

    x₁=0     x₂=-⅛       x₃=-2        brak pierwiastków

            Odp.   x∈{0, -⅛, -2}

c)  2x³+4x-x²-2=0

     2x³-x²+4x-2=0

     x²(2x-1) +2(2x-1) =0

     (2x-1)(x²+2) = 0

     2x-1=0    ∨  x²+2=0

       x= ½          brak pierwastków          Odp.  x=½

d) x⁴+3x²+2=0

   Rozkładamy wyraz  3x² na takie 2 składniki, aby możliwe było grupowanie wyrazów:

    x⁴+2x²+x²+2=0

    x²(x²+2)+(x²+2) =0

    (x²+2)(x²+1) = 0

    x²+2=0   ∨ x²+1 =0

    Obie równości są sprzeczne, zatem równanie nie ma rozwiązania.

e)  x⁵+4x=0

     x(x⁴+4)=0

     x=0   ∨  x⁴+4=0

     x₁=0         brak pierwiastków              Odp.  x=0

f)  (x²-2x+1)(x²-5)=0

     (x-1)²(x-√5)(x+√5)=0

     x-1=0   ∨  x-√5=0   ∨  x+√5=0

      x₁=0,        x₂=√5,       x₃=-√5

           Odp. x∈{0, √5, -√5}

g)  x³-7x+6=0       Rozkładamy jak w p. d):

     x³-x-6x+6=0

    x(x²-1) -6(x-1)=0

    x(x-1)(x+1) -6(x-1) =0

    (x-1)[x(x+1)-6]=0

    (x-1)(x²+x-6)=0

     x-1=0   ∨  x²+x-6=0

      x₁=1        Δ=1+24=25,  √Δ=5,   x₂=(-1-5)/2=-6/2=-3

                                                   x₃=(-1+5)/2= 4/2=2

      Odp.  x∈{1,2,-3}