Question

Rozwiąż nierówności:
a) |x² - 4x| < 4
b) x² - 4|x| >= 0

Answer 1

A) |x² - 4x| < 4
x² - 4x < 4   ∧   x² - 4x > -4
x² - 4x - 4 < 0   ∧   x - 4x + 4 > 0

x² - 4x - 4 < 0
Δ = 16 + 16 = 32
x₁ = (4 + 4√2)/2 = 2 + 2√2
x₂ = (4 - 4√2)/2 = 2 - 2√2

Z₁ = (2 - 2√2, 2 + 2√2)


x - 4x + 4 > 0
(x - 2)² > 0
wyrażenie po lewej jest zawsze nieujemne, a zatem żeby było silnie dodatnie, to musi być różne od 0, czyli
(x - 2)² ≠ 0 
x - 2 ≠ 0 
x ≠ 2

Z₂ = (-∞, 2) U (2, +∞)

Z = Z₁ ∩ Z₂ = (2 - 2√2, 2) U (2, 2 + 2√2)

b) x² - 4|x| ≥ 0

1)  Rozważamy x ≥ 0
Wtedy |x| = x

x² - 4x ≥ 0
x(x - 4) ≥ 0

x∈ (-∞, 0> U <4, +∞)
Z₁ = [(-∞, 0> U <4, +∞)] ∩ <0, +∞) = {0} U <4, +∞)

2) x < 0
|x| = -x

x² + 4x ≥ 0
x(x + 4) ≥ 0

x ∈ (-∞, -4> U <0, +∞)
Z₂ = [(-∞, -4> U <0, +∞)] ∩ (-∞, 0) = (-∞, -4>

Z = Z₁ U Z₂ = (-∞, -4> U {0} U <4, +∞)