Rozwiąż nierowność :1). |x+10|102.) |x-3|+|x+4|6-(x+2)(x-2)proszę o wyjasnienie krok po kroku .... Question from @freeakz

November 2018 1 7 Report

Rozwiąż nierowność :

1). | $\frac{5}{2}$ x+10| $\geq$ 10
2.) |x-3|+|x+4|<9
3.) $x^{2}$ (2-x)>6-(x+2)(x-2) $^{2}$

proszę o wyjasnienie krok po kroku .

makmykxyn

Teoria: Jeżeli a>0 |x| ≥ a ⇔ x ≥ a∨ x ≤ (-a); |x| ≤ a ⇔ x ≤ a ∧ x ≥ (-a).

1) $|\frac{5}{2}x + 10| \geq 10$

$\frac{5}{2}x + 10 \geq 10$ ∨ $\frac{5}{2}x + 10 \leq (-10)$ .

$5x + 20 \geq 20 \implies 5x \geq 20 - 20 \implies 5x \geq 0 \implies x \geq \frac{0}{5} \implies x \geq 0$ . ∨ $5x + 20 \leq (-10) \implies 5x \leq -10 - 20 \implies 5x \leq (-30) \implies x \leq \frac{-30}{5} \implies x \leq \frac{(-5) * 6}{5} \implies x \leq (-6)$ .

Odp. x ∈ $(- \infty; -6> \cup <0; + \infty)$ .

2) $|x - 3| + |x + 4| < 9$ // Krok 1: Poszukiwanie przedziałów "dodatniości" modułów.

$|x - 3| = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$ // Funkcja pod modułem jest liniowa i wartości dodatnie przyjmuje dla x > 3.

$|x + 4| = 0 \implies x + 4 = 0 \implies x = (-4)$ // Funkcja pod modułem jest liniowa i wartości dodatnie przyjmuje dla x > (-4).

Powyższe obliczenia okazały się przydatne dla dalszego rozłożenia rozwiązywania na przypadki.

I: x ∈ (-∞; -4) // Obie funkcje przyjmują wartości ujemne.

$- (x - 3) - (x + 4) < 9 \implies -x + 3 - x - 4 < 9 \implies -2x -1 < 9 \implies -2x < 9 + 1 \implies 2x > -10 \implies x > \frac{-10}{2} \implies x > \frac{2 * (-5)}{2} \implies x > (-5)$ .

$x_{częściowy}$ ∈ $(- \infty; -4) \cap (-5; + \infty) \implies (-5; -4)$ .

II: x ∈ <-4; 3) \\ Pierwsza funkcja przyjmuje wartości ujemne, druga funkcja przyjmuje wartości dodatnie bądź zero.

$- (x - 3) + (x + 4) < 9 \implies -x + 3 + x + 4 < 9 \implies3 + 4 < 9 \implies$ x ∈ R.

$x_{częściowy #2}$ ∈ $(- \infty; + infty) \cap <-4; 3) \implies <-4; 3)$ .

III: x ∈ <3; + ∞) \\ Obie funkcje przyjmują wartości przyjmują wartości dodatnie bądź zero.

$(x - 3) + (x + 4) < 9 \implies x - 3 + x + 4 < 9 \implies 2x + 1 < 9 \implies 2x < 9 - 1 \implies 2x < 8 \implies x < \frac{8}{2} \implies x < \frac{4 * 2}{2} \implies x < 4$ .

$x_{częściowy #3}$ ∈ $<3; + \infty) \cap (- \infty; 4) \implies <3 ;4)$ .

x ∈ $x_{częściowy} \cup x_{częściowy #2} \cup x_{częściowy #3} \implies (-5; -4) \cup <-4; 3) \cup <3 ;4) \implies (-5; 4)$ .

Odp. x ∈ $(-5; 4)$ .

3. $x^{2} * (2 - x) > 6 - (x + 2) * (x - 2)^{2} \implies 2x^{2}- x^{3} > 6 - (x + 2) * (x^{2} - 4x + 4) \implies 2x^{2} - x^{3} > 6 - (x^{3} - 4x^{2} + 4x + 2x^{2} - 8x + 8) \implies 2x^{2} - x^{3} > 6 - (x^{3} - 2x^{2} - 4x + 8) \implies 2x^{2} - x^{3} > 6 - x^{3} + 2x^{2} + 4x - 8 \implies -x^{3} + x^{3} + 2x^{2} - 2x^{2} - 4x + 8 - 6 > 0 \implies -4x + 2 > 0 \implies -4x > (-2) \implies 4x < 2 \implies x< \frac{2}{4} \implies x < \frac{2 * 1}{2 * 2} \implies x < \frac{1}{2}$ .

Odp. x < 0,5.

Podczas wykonywania obliczeń starałem się nie popełnić błędów merytorycznych ani rachunkowych, jednak pozostaję otwarty na wszelką konstruktywną krytykę.

W razie czego, polecam się pamięci. :)