Rozwiń funkcję w szereg Taylora f(x) = ln (3+x). Niestety nie mam podanego punktu otoczenia, ale po .... Question from @Gieroj

November 2018 1 7 Report

Rozwiń funkcję w szereg Taylora f(x) = ln (3+x). Niestety nie mam podanego punktu otoczenia, ale po prostu potrzebuje schematu rozwiązywania takich zadań. Weźmy Xo=1.

Dziękuje!

igoras1993 W końcu jakieś konkretne zadanie :) Robicie to w liceum? bardzo fajnie.

najpierw musisz policzyć odpowiednie pochodne, zależy jak daleko rozwijasz funkcje(ile wyrazów rozwinięcia cię interesuje). powiedzmy ze sa to trzy pierwsze.
Wzór taylora to:
$f(x)= \frac{1}{0!} f(x_0) + \frac{1}{1!}f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2 +...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n$

w zasadzie wiec jedyne co musisz znać to pochodne ntego rzędu.

rozwijamy do trzeciego wyrazu więc musisz znać dwie pochodne.

obliczmy je:
$[Ln(3+x)]'=\frac{1}{x+3}*1$
$[Ln(x+3)]''=[\frac{1}{x+3}]'=-\frac{1}{(x+3)^2}$

teraz musisz podać ich wartość w pukcie w którym rozwijasz
f(1)=ln(4)
f'(1)=1/4
f''(1)=-(1/16)
i zapisujesz tak jak mówi wzór:
$Ln(x+3)=Ln(4)+\frac{1}{4}(x-1)-\frac{1}{16*2!}(x-1)^2+...$

żeby podać kolejne wyrazy musisz obliczyć kolejne pochodne i ich wartości w punktach w których rozwijasz funkcje. :)

3 votes Thanks 2

Gieroj Wielkie dzięki! to nie liceum.. potrzebowalem dobrego wytlumaczenia, bo na uczelni o to trudno :)