Rozwiń funkcję w szereg Maclaurina.... Question from @kamil2001i

kamil2001i @kamil2001i

April 2022 1 41 Report

Rozwiń funkcję w szereg Maclaurina

Odpowiedź:

$\Sigma^{\infty}_{n=0}\bigg[\frac{x^n}{n} \cdot\bigg(2+2n^2-3\bigg\lfloor\frac{1}{3} (2+2n^2)\bigg\rfloor\bigg)\cdot(-1)\uparrow \frac{1}{6} \bigg(\sqrt{3} \cdot\mathrm{sin}(\pi \cdot\frac{n-1}{3} )-\sqrt{3} \cdot\mathrm{sin}(5\pi \cdot\frac{n-1}{3} )-\mathrm{cos}(\pi \cdot\frac{n-1}{3} )-\mathrm{cos}(\pi (n-1))-\mathrm{cos}(5\pi \cdot\frac{n-1}{3} )+9\bigg]$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Szukałem wyniku w książce Krysicki Włodarski - niestety jest on błędny. Wyznaczyłem poprawny wynik, mam pewność w 100% (wiem, że przeraża --> w razie jakichkolwiek wątpliwości pytaj).

$f(x)=\mathrm{ln}(1-x+x^2)$

Obliczamy kilka pochodnych:

$f'(x)=\frac{2x-1}{x^2-x+1}$

$f''(x)=-\frac{2x^2-2x-1}{(x^2-x+1)^2}$

$f'''(x)=-\frac{2(3x^2-2x^3+3x-2)}{(x^2-x+1)^3}$

Zauważamy, że funkcja i pochodne w punkcie $x_0=0$ tworzą szereg:

$-x+\frac{x^2}{2} +\frac{2x^3}{3} +\frac{x^4}{4} -\frac{x^5}{5} -\frac{x^6}{3} -\frac{x^7}{7} +\frac{x^8}{8}+\frac{2x^9}{9}+...$

Zauważamy prostą zasadę, co trzeci wyraz jest mnożony przez $2$ oraz począwszy od drugiego wyrazu mamy na przemian trzy razy plus i trzy razy minus.

Najtrudniejszy etap - ułożenie wzoru, a w szczególności fragmentów odpowiedzialnych za wyżej wymienione, powtarzające się w określony sposób cechy szeregu. Po kilku godzinach znajdujemy wynik (Jeśli jakikolwiek element w wyniku jest niejasny pisz śmiało od razu wyjaśnię).

załączam, również dowód poprawności powyższego wzoru (Program MathCAD - możliwość błędu jest wykluczona).

Program nie potrafiłby wskazać tego wzoru, to jedynie potwierdzenie, jeśli nie chce Ci się podstawiać za $n$ . Proszę, by administracja nie usuwała z tego powodu.

2 votes Thanks 2

kamil2001i Skąd się wzięły funkcje trygonometryczne w szeregu Maclaurina?

lukaszch07p2rzss są związane z tym, że chcemy utworzyć funkcje, która na przemian przyjmuje wartości 1,2,2,2,1,1,1,2,2,2,1,1,1,2,2,2,... służy ona do zmiany znaku odpowiednich wyrazów, wg powyższego wzoru, podstawiając za n do wskazanej przeze mnie funkcji (cały wykładnik liczby -1) otrzymamy właśnie taki ciąg jaki podałem wyżej

kamil2001i aaaa rozumiem

lukaszch07p2rzss Podobnie jest z podłogą, chcemy co trzeci wyraz mnożyć przez 2

lukaszch07p2rzss Nie ukrywam, znalezienie takich funkcji było niezwykle czasochłonne (zwłaszcza ta odpowiedzialna za zmianę znaku)

lukaszch07p2rzss sumy powinny być od 1 a nie od 0, błąd przy przepisywaniu