Question

Rozważmy trójkąty prostokatne, których przeciwprostokątne mają długość 6. Znajdż długość przyprostokątnych, tak aby pole było jak największe, Oblicz to pole.

Daję naj, zadanie optymalizacyjne z pochodnych.

Answer 1

A - długość pierwszej przyprostokątnej
b - długość drugiej przyprostokatnej
a^2 + b^2 = 36
b = pierwiastek z (36-a^2) = p(36-a^2)
pole = a * b / 2 = a * p(36-a^2) / 2 = 1/2 * a * (36 - a^2)^(1/2)
obliczam pochodną pola po a
d pole / d a = ( 1/2 * a * (36 - a^2)^(1/2) )' = 1/2 * ( a * ((36 - a^2)^(1/2) )' + (36 - a^2)^(1/2) ) =  1/2 * ( a * 1/2 * (36 - a^2)^(-1/2) * (36 - a^2)' + (36 - a^2)^(1/2) ) =
1/2 * ( a * 1/2 * (36 - a^2)^(-1/2) * (-2 a) + (36 - a^2)^(1/2) ) =
1/2 * (36 - a^2)^(-1/2) * ( - a * a + (36 - a^2) ) =
1/2 * ((6 - a)(6+a))^(-1/2) * (36 - 2 a^2 ) =
((6 - a)(6+a))^(-1/2) * (18 - a^2 ) =
-1 * ((6 - a)(6+a))^(-1/2) * (a + 3p(2)) * (a - 3p(2))

gdzie p(2) to jest pierwiastek z 2

W obliczeniach pochodnej zastosowałem wzor na pochodna iloczynu:
(f(x) * g(x))' = f(x) * g'(x) + f'(x) * g(x)
oraz na pochodna funkcji złożonej:
( g(x) zlozone z f(x) )' = f'(g(x)) * g'(x)

miejsca zerowe pochdnej to a1 = -3p(2) i a2 = 3p(2)
przebieg zmienności znaków pochodnej w interesujacym przedziale (0,6) jest:
od 0 do 3p(2) :  > 0  bo kolejne czynniki maja znaki: - , +, + , -
od 3p(2) do 6 :  < 0  bo kolejne czynniki maja znaki: - , +, + ,+

uwaga: nieładnie wygladający czynnik ((6 - a)(6+a))^(-1/2) to jest 1 podzielic przez pierwiastek z (6-a)(6+a) wiec jest okreslony tylko dla a od 0 do 6 i jest zawsze dodatni

wnioski:
w przedziale a = od 0 do 3p(2) pochoda pola po a jest dodatnia, czyli pole rosnie, ze wzrostem a.
w punkcie 3p(2) pochodna zmienia znak z + na -, co znaczy ze funkcja pola od a ma lokalne maksimum
dla a > 3p(2) pole maleje, przy czym a moze byc nie wieksze niż 6.

We wnioskach widac, ze szukane a, dla ktorego pole jest max to 3p(2).
Obliczam druga przyprostokatna:
b = pierwiastek z (36-a^2) = pierw z (36-18) = pierw z 18 = 3p(2)
Obliczam pole
pole = a * b / 2 = 3p(2) * 3p(2) / 2 = 18/2 = 9

Wychodzi tak jak powinno wyjsc a=b, bo jak wiadomo prostokat o najwiekszym polu wpisany w kolo to kwadrat.