Rozważ grę rozgrywaną trzema kostkami pokazanymi poniżej (w załączniku). Rzucane są dwie kości, a ta.... Question from @KiciakToes

June 2022 1 17 Report

Rozważ grę rozgrywaną trzema kostkami pokazanymi poniżej (w załączniku). Rzucane są dwie kości, a ta, która wyląduje na większej liczbie, wygrywa rundę. Rozegranych zostanie wiele rund tej gry, dlatego chcemy wybrać kość, która najprawdopodobniej wygra w dłuższej perspektywie.

Którą wybrać? Niestety w tym zestawie nie ma ogólnej zwycięskiej kości. Na przykład w wielu rundach kolor żółty kontra niebieski powoduje zwycięstwo koloru żółtego, ale kolor żółty przegrywa, gdy gra się przeciwko kolorowi czerwonemu.

Załóżmy teraz, że dodajemy czwartą kość do zestawu trzech poniżej (w załączniku). Którą z poniższych (pod treścią zadania) kości można dodać, aby każda kość nadal przegrywała z co najmniej jedną inną, a także wygrywała z co najmniej jedną inną?

Uwaga: jednakowe prawdopodobieństwo wygranej i przegranej nie jest liczone jako wygrana lub przegrana dla tego problemu.

Kości:
(0,0,2,2,8,8)
(2,2,2,8,8,8)
(0,2,8,10,10,10)
(0,0,2,2,8,10)
lub Brak.

Piok

Wprowadźmy terminologię. Niech $\mathcal{K}$ będzie multizbiorem utożsamianym z kością. Wygodniej jest mówić o prawdopodobieństwie wygranej kości $\mathcal{K}_1$ nad kością $\mathcal{K}_2$ . Zwycięstwo kości

$\mathbb{P}(\mathcal{K}_1 > \mathcal{K}_2)>\frac{1}{2}$

czyli, że na pierwszej kości wypadnie więcej nić na drugiej z prawdopodobieństwem większym niż połowa. Widać więc, że:

$(1) \ \mathcal{Z}\succ \mathcal{N} \\ (2) \ \mathcal{N}\succ \mathcal{C} \\ (3) \ \mathcal{C}\succ \mathcal{Z}$

co mówi treść zadania ale można łatwo sprawdzić. Przykładowo kość żółta wygrywa nad niebieską z prawdopodobieństwem:

$\mathbb{P}( \mathcal{Z}> \mathcal{N})= \frac{4}{6}$

zatem faktycznie zachodzi $(1)$ widać też, że relacja $\succ$ nie jest przechodnia. Aby wyznaczyć ewentualną czwartą kostkę $\mathcal{X}$ która będzie pomiędzy jakimiś kotami kolorowymi. Postanowiłem się przyjrzeć wartością oczekiwanym na poszczególnych kosatkach. Okazuje się, że:

$\mathbb{E}(\mathcal{N})=\mathbb{E}(\mathcal{C})=\mathbb{E}(\mathcal{Z})=5$

nie wiem czy ma to jakieś znaczenie w porządkowaniu kości względem relacji $\succ$ ale pomyślałem, że może warto spróbować z kością $\mathcal{X}=(2,2,2,8,8,8)$ . Przewidywania te potwierdza rachunek:

$\mathbb{P}( \mathcal{X}>\mathcal{Z} ) = \frac{2}{3} \Longrightarrow \mathcal{X}\succ \mathcal{Z}$

$\mathbb{P}( \mathcal{C}>\mathcal{X} ) = \frac{4}{6}\cdot \frac{3}{6} + \frac{2}{6}\cdot \frac{3}{6}+ \frac{2}{6}\cdot \frac{3}{6} \Longrightarrow \mathcal{C}\succ \mathcal{X}$