rozłóż wielomian na czynniki
a) x^4 + 16
b) x^4 + 25
c) x^4 + c^2 +1
d) x^4 - x^2 +1
Witam! Wszystkie tego typu zadania rozwiązuje się poprzez złożenie danych wielomianów do pewnego kwadratu, a reszta to już zwykłe przekształcenia, bazujące na wzorach skróconego mnożenia:a) b) c) d)
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Witam! Wszystkie tego typu zadania rozwiązuje się poprzez złożenie danych wielomianów do pewnego kwadratu, a reszta to już zwykłe przekształcenia, bazujące na wzorach skróconego mnożenia:![x^4+16=x^4+2^4=(x^2+2^2)^2-2x^2\cdot 2^2=\\=(x^2+2^2)^2-x^2 2^3=(x^2+2^2)^2-(2^{\frac{3}{2}}x)^2=\\=(x^2+2^2+2^{\frac{3}{2}}x)(x^2+2^2-2^{\frac{3}{2}}x)=\\=(x^2+2\sqrt{2}x+4)(x^2-2\sqrt{2}x+4) x^4+16=x^4+2^4=(x^2+2^2)^2-2x^2\cdot 2^2=\\=(x^2+2^2)^2-x^2 2^3=(x^2+2^2)^2-(2^{\frac{3}{2}}x)^2=\\=(x^2+2^2+2^{\frac{3}{2}}x)(x^2+2^2-2^{\frac{3}{2}}x)=\\=(x^2+2\sqrt{2}x+4)(x^2-2\sqrt{2}x+4)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4%2B16%3Dx%5E4%2B2%5E4%3D%28x%5E2%2B2%5E2%29%5E2-2x%5E2%5Ccdot+2%5E2%3D%5C%5C%3D%28x%5E2%2B2%5E2%29%5E2-x%5E2+2%5E3%3D%28x%5E2%2B2%5E2%29%5E2-%282%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7Dx%29%5E2%3D%5C%5C%3D%28x%5E2%2B2%5E2%2B2%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7Dx%29%28x%5E2%2B2%5E2-2%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7Dx%29%3D%5C%5C%3D%28x%5E2%2B2%5Csqrt%7B2%7Dx%2B4%29%28x%5E2-2%5Csqrt%7B2%7Dx%2B4%29)
![x^4+25=x^4+(\sqrt{5})^4=(x^2+\sqrt{5}^2)^2-2x^2\cdot \sqrt{5}^2=\\=(x^2+\sqrt{5}^2)^2-10x^2=(x^2+5)^2-(\sqrt{10}x)^2=\\=(x^2+\sqrt{10}x+5)(x^2-\sqrt{10}x+5) x^4+25=x^4+(\sqrt{5})^4=(x^2+\sqrt{5}^2)^2-2x^2\cdot \sqrt{5}^2=\\=(x^2+\sqrt{5}^2)^2-10x^2=(x^2+5)^2-(\sqrt{10}x)^2=\\=(x^2+\sqrt{10}x+5)(x^2-\sqrt{10}x+5)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4%2B25%3Dx%5E4%2B%28%5Csqrt%7B5%7D%29%5E4%3D%28x%5E2%2B%5Csqrt%7B5%7D%5E2%29%5E2-2x%5E2%5Ccdot+%5Csqrt%7B5%7D%5E2%3D%5C%5C%3D%28x%5E2%2B%5Csqrt%7B5%7D%5E2%29%5E2-10x%5E2%3D%28x%5E2%2B5%29%5E2-%28%5Csqrt%7B10%7Dx%29%5E2%3D%5C%5C%3D%28x%5E2%2B%5Csqrt%7B10%7Dx%2B5%29%28x%5E2-%5Csqrt%7B10%7Dx%2B5%29)
![x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1) x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4%2Bx%5E2%2B1%3D%28x%5E2%2B1%29%5E2-x%5E2%3D%28x%5E2%2Bx%2B1%29%28x%5E2-x%2B1%29)
![x^4-x^2+1=(x^2+1)^2-3x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{3}x)^2=\\=(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1) x^4-x^2+1=(x^2+1)^2-3x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{3}x)^2=\\=(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4-x%5E2%2B1%3D%28x%5E2%2B1%29%5E2-3x%5E2%3D%28x%5E2%2B1%29%5E2-%28%5Csqrt%7B3%7Dx%29%5E2%3D%5C%5C%3D%28x%5E2%2B%5Csqrt%7B3%7Dx%2B1%29%28x%5E2-%5Csqrt%7B3%7Dx%2B1%29)
a)
b)
c)
d)