Rozłóż wielomian na czynniki : W(x)= x^4-x^3-2x-4 oraz W(x)=x^3+6x^2+6x+5.... Question from @matig77

November 2018 1 19 Report

Rozłóż wielomian na czynniki : W(x)= x^4-x^3-2x-4 oraz W(x)=x^3+6x^2+6x+5

Roma

Skorzystamy z tw. o całkowitych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych: Jeżeli wielomian

$W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0, \ a_n \neq 0, \ a_0 \neq 0$ ,

o współczynnikach całkowitych, ma pierwiastek całkowity p, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a₀ oraz z def. pierwiastka wielomianu: Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy, gdy W(p) = 0 i tw. Bezouta: Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-p.

----------------------------------------------------------------------

$W(x)= x^4-x^3-2x-4$

Wyraz wolny to: - 4, a jego dzielniki to: -1, 1, -2, 2, -4, 4

$W(-1)=(-1)^4-(-1)^3-2 \cdot (-1)-4 = 1 + 1 + 2 - 4 = 0$

Zatem liczba - 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), a to oznacza, że wielomian W(x) jest podzielny przez (x + 1).

$(x^4-x^3-2x-4) \ : \ (x + 1) = x^3 - 2x^2 +2x - 4 \\\ -x^4 - x^3 \\\ ----- \\\ -2x^3-2x - 4 \\\ +2x^3+2x^2 \\\ ------ \\\ 2x^2 - 2x - 4 \\\ -2x^2 - 2x \\\ ------ \\\ -4x - 4 \\\ +4x +4 \\\ ----- \\\ R = 0$

Stąd:

$W(x) = x^4-x^3-2x-4) = (x + 1)(x^3 - 2x^2 +2x - 4) = \\\ = (x + 1)[x^2 \cdot (x - 2) + 2 \cdot (x - 2)] = (x+ 1)(x - 2)(x^2+1)$

----------------------------------------------------------------------

$W(x)=x^3+6x^2+6x+5$

Wyraz wolny to: 5, a jego dzilniki to: - 1, 1, - 5, 5.

$W(-1)=(-1)^3+6 \cdot (-1)^2+6 \cdot (-1) +5 = - 1 + 6 - 6 + 5 = \\\ = 6 \neq 0 \\\\ W(1)=1^3+6 \cdot 1^2+6 \cdot 1 +5 = 1 + 6 + 6 + 5 = 18 \neq 0 \\\\ W(-5)=(-5)^3+6 \cdot (-5)^2+6 \cdot (-5) +5 = - 125 + 150 - 30 + \\\ +5 = 0$

Zatem liczba - 5 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), a to oznacza, że wielomian W(x) jest podzielny przez (x + 5).

$(x^3+6x^2+6x+5) \ : \ (x + 5) = x^2 + x + 1 \\\ -x^3 - 5x^2 \\\ ----- \\\ x^2 + 6x + 5 \\\ -x^2 - 5x \\\ ----- \\\ x + 5 \\\ -x - 5 \\\ ---- \\\ R = 0$