Question

Rozłóż na możliwie najmniejsze czynniki:
a) 216x^3+1
b)4x^2+4x+1
c)x^3-27
d)8x^3-64

Answer 1

A) 216x^3 + 1
Zauważam, że pierwiastkiem jest liczba (-1/6), dzielę więc wielomian (216x^3 + 1) przez (x + 1/6)
(216x^3 + 1) : (x + 1/6) = (216x^2 + 36x + 6), czyli:
216x^3 + 1 = (x + 1/6)(216x^2 + 36x + 6) = 6(x + 1/6)(36x^2 + 6x + 1)
Delta dla wyrażenia w drugim nawiasie jest ujemna więc nie ma ono pierwiastków czyli nie można go rozbić na mniejsze czynniki. Ostatecznie:
216x^3 + 1 = 6(x + 1/6)(36x^2 + 6x + 1)

b) 4x^2 + 4x + 1 = 4(x^2 + x + 1/4) = 4(x + 1/2)^2

c) x^3 - 27
Zauważam, że pierwiastkiem jest liczba 3, dzielę więc (x^3 - 27) przez (x - 3):
(x^3 - 27) : (x - 3) = (x^2 + 3x + 9)
x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)
Delta dla wyrażenia w drugim nawiasie jest ujemna więc nie ma ono pierwiastków czyli nie można go rozbić na mniejsze czynniki. Ostatecznie:
x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)

d) 8x^3 - 64 = 8(x^3 - 8)
Zauważam, że pierwiastkiem jest liczba 2, dzielę więc (x^3 - 8) przez (x - 2):
(x^3 - 8) : (x - 2) = (x^2 + 2x + 4)
8x^3 - 64 = 8(x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Delta dla wyrażenia w drugim nawiasie jest ujemna więc nie ma ono pierwiastków czyli nie można go rozbić na mniejsze czynniki. Ostatecznie:
8x^3 - 64 = 8(x - 2)(x^2 + 2x + 4)